Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 62026 / 12978
↖ ↑ ↗
← N 72.942209°
E160.718994°		 ← 179.17 m → N 72.942209°
E160.724487°		 →
↑
179.22 m
↓
↑
179.22 m
↓
N 72.940597°
E160.718994°		 ← 179.18 m →
32 111 m²		 N 72.940597°
E160.724487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946449279785156 y=0.198036193847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946449279785156 × 216)
    floor (0.946449279785156 × 65536)
    floor (62026.5)     		tx = 62026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198036193847656 × 216)
    floor (0.198036193847656 × 65536)
    floor (12978.5)     		ty = 12978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62026 / 12978 ti = "16/62026/12978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62026/12978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62026 ÷ 216
    62026 ÷ 65536     		x = 0.946441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12978 ÷ 216
    12978 ÷ 65536     		y = 0.198028564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946441650390625 × 2 - 1) × π
    0.89288330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80507562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198028564453125 × 2 - 1) × π
    0.60394287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89734248696182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80507562} λ = 2.80507562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89734248696182))-π/2
    2×atan(6.66815017887576)-π/2
    2×1.42193901660544-π/2
    2.84387803321088-1.57079632675     		φ = 1.27308171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80507562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.718994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27308171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.942209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62026 KachelY 12978 2.80507562 1.27308171 160.718994 72.942209
    Oben rechts KachelX + 1 62027 KachelY 12978 2.80517149 1.27308171 160.724487 72.942209
    Unten links KachelX 62026 KachelY + 1 12979 2.80507562 1.27305358 160.718994 72.940597
    Unten rechts KachelX + 1 62027 KachelY + 1 12979 2.80517149 1.27305358 160.724487 72.940597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27308171-1.27305358) × R
    2.81300000000151e-05 × 6371000     		dl = 179.216230000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27308171-1.27305358) × R
    2.81300000000151e-05 × 6371000     		dr = 179.216230000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80507562-2.80517149) × cos(1.27308171) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293336126847236 × 6371000     		do = 179.166118777456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80507562-2.80517149) × cos(1.27305358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29336301927477 × 6371000     		du = 179.1825443433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27308171)-sin(1.27305358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293336126847236-0.29336301927477)×R²
    abs(2.80517149-2.80507562)×2.68924275336202e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68924275336202e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68924275336202e-05×40589641000000     		ar = 32110.9482171106m²