Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62025 / 12965
↖ ↑ ↗
← N 72.963144°
E160.713501°		 ← 178.97 m → N 72.963144°
E160.718994°		 →
↑
178.96 m
↓
↑
178.96 m
↓
N 72.961534°
E160.713501°		 ← 178.99 m →
32 030 m²		 N 72.961534°
E160.718994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946434020996094 y=0.197837829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946434020996094 × 216)
    floor (0.946434020996094 × 65536)
    floor (62025.5)     		tx = 62025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197837829589844 × 216)
    floor (0.197837829589844 × 65536)
    floor (12965.5)     		ty = 12965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62025 / 12965 ti = "16/62025/12965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62025/12965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62025 ÷ 216
    62025 ÷ 65536     		x = 0.946426391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12965 ÷ 216
    12965 ÷ 65536     		y = 0.197830200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946426391601562 × 2 - 1) × π
    0.892852783203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80497974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197830200195312 × 2 - 1) × π
    0.604339599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89858884635194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80497974} λ = 2.80497974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89858884635194))-π/2
    2×atan(6.67646627180968)-π/2
    2×1.42212170885821-π/2
    2.84424341771641-1.57079632675     		φ = 1.27344709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80497974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.713501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27344709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.963144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62025 KachelY 12965 2.80497974 1.27344709 160.713501 72.963144
    Oben rechts KachelX + 1 62026 KachelY 12965 2.80507562 1.27344709 160.718994 72.963144
    Unten links KachelX 62025 KachelY + 1 12966 2.80497974 1.27341900 160.713501 72.961534
    Unten rechts KachelX + 1 62026 KachelY + 1 12966 2.80507562 1.27341900 160.718994 72.961534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27344709-1.27341900) × R
    2.80899999998141e-05 × 6371000     		dl = 178.961389998816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27344709-1.27341900) × R
    2.80899999998141e-05 × 6371000     		dr = 178.961389998816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80497974-2.80507562) × cos(1.27344709) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.292986800570617 × 6371000     		do = 178.971420749738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80497974-2.80507562) × cos(1.27341900) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.293013657767113 × 6371000     		du = 178.987826507966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27344709)-sin(1.27341900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292986800570617-0.293013657767113)×R²
    abs(2.80507562-2.80497974)×2.68571964960884e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.68571964960884e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.68571964960884e-05×40589641000000     		ar = 32030.4422281249m²