Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62021 / 39576
↖ ↑ ↗
← N 57.856443°
W  9.654236°		 ← 162.47 m → N 57.856443°
W  9.651490°		 →
↑
162.52 m
↓
↑
162.52 m
↓
N 57.854982°
W  9.654236°		 ← 162.47 m →
26 405 m²		 N 57.854982°
W  9.651490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473186492919922 y=0.301944732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473186492919922 × 217)
    floor (0.473186492919922 × 131072)
    floor (62021.5)     		tx = 62021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301944732666016 × 217)
    floor (0.301944732666016 × 131072)
    floor (39576.5)     		ty = 39576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62021 / 39576 ti = "17/62021/39576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62021/39576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62021 ÷ 217
    62021 ÷ 131072     		x = 0.473182678222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39576 ÷ 217
    39576 ÷ 131072     		y = 0.30194091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473182678222656 × 2 - 1) × π
    -0.0536346435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16849820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30194091796875 × 2 - 1) × π
    0.3961181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24444191413666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16849820} λ = -0.16849820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24444191413666))-π/2
    2×atan(3.47099714426025)-π/2
    2×1.29029087771876-π/2
    2.58058175543752-1.57079632675     		φ = 1.00978543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16849820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.654236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00978543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.856443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62021 KachelY 39576 -0.16849820 1.00978543 -9.654236 57.856443
    Oben rechts KachelX + 1 62022 KachelY 39576 -0.16845027 1.00978543 -9.651490 57.856443
    Unten links KachelX 62021 KachelY + 1 39577 -0.16849820 1.00975992 -9.654236 57.854982
    Unten rechts KachelX + 1 62022 KachelY + 1 39577 -0.16845027 1.00975992 -9.651490 57.854982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00978543-1.00975992) × R
    2.55099999999508e-05 × 6371000     		dl = 162.524209999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00978543-1.00975992) × R
    2.55099999999508e-05 × 6371000     		dr = 162.524209999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16849820--0.16845027) × cos(1.00978543) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.532042413838351 × 6371000     		do = 162.46555153569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16849820--0.16845027) × cos(1.00975992) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.532064013433856 × 6371000     		du = 162.472147232021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00978543)-sin(1.00975992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532042413838351-0.532064013433856)×R²
    abs(-0.16845027--0.16849820)×2.15995955047399e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.15995955047399e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.15995955047399e-05×40589641000000     		ar = 26405.121397144m²