Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62021 / 12966
↖ ↑ ↗
← N 72.961534°
E160.691528°		 ← 178.97 m → N 72.961534°
E160.697021°		 →
↑
178.96 m
↓
↑
178.96 m
↓
N 72.959925°
E160.691528°		 ← 178.99 m →
32 030 m²		 N 72.959925°
E160.697021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946372985839844 y=0.197853088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946372985839844 × 216)
    floor (0.946372985839844 × 65536)
    floor (62021.5)     		tx = 62021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197853088378906 × 216)
    floor (0.197853088378906 × 65536)
    floor (12966.5)     		ty = 12966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62021 / 12966 ti = "16/62021/12966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62021/12966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62021 ÷ 216
    62021 ÷ 65536     		x = 0.946365356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12966 ÷ 216
    12966 ÷ 65536     		y = 0.197845458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946365356445312 × 2 - 1) × π
    0.892730712890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80459625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197845458984375 × 2 - 1) × π
    0.60430908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8984929725527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80459625} λ = 2.80459625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8984929725527))-π/2
    2×atan(6.67582620430604)-π/2
    2×1.42210766333566-π/2
    2.84421532667132-1.57079632675     		φ = 1.27341900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80459625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.691528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27341900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.961534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62021 KachelY 12966 2.80459625 1.27341900 160.691528 72.961534
    Oben rechts KachelX + 1 62022 KachelY 12966 2.80469212 1.27341900 160.697021 72.961534
    Unten links KachelX 62021 KachelY + 1 12967 2.80459625 1.27339091 160.691528 72.959925
    Unten rechts KachelX + 1 62022 KachelY + 1 12967 2.80469212 1.27339091 160.697021 72.959925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27341900-1.27339091) × R
    2.80900000000361e-05 × 6371000     		dl = 178.96139000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27341900-1.27339091) × R
    2.80900000000361e-05 × 6371000     		dr = 178.96139000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80459625-2.80469212) × cos(1.27341900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293013657767113 × 6371000     		do = 178.969158607114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80459625-2.80469212) × cos(1.27339091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293040514732407 × 6371000     		du = 178.985562513055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27341900)-sin(1.27339091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293013657767113-0.293040514732407)×R²
    abs(2.80469212-2.80459625)×2.68569652944195e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68569652944195e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68569652944195e-05×40589641000000     		ar = 32030.0372266894m²