Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62020 / 39462
↖ ↑ ↗
← N 58.022646°
W  9.656982°		 ← 161.75 m → N 58.022646°
W  9.654236°		 →
↑
161.76 m
↓
↑
161.76 m
↓
N 58.021192°
W  9.656982°		 ← 161.76 m →
26 165 m²		 N 58.021192°
W  9.654236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473178863525391 y=0.301074981689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473178863525391 × 217)
    floor (0.473178863525391 × 131072)
    floor (62020.5)     		tx = 62020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301074981689453 × 217)
    floor (0.301074981689453 × 131072)
    floor (39462.5)     		ty = 39462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62020 / 39462 ti = "17/62020/39462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62020/39462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62020 ÷ 217
    62020 ÷ 131072     		x = 0.473175048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39462 ÷ 217
    39462 ÷ 131072     		y = 0.301071166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473175048828125 × 2 - 1) × π
    -0.05364990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16854614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301071166992188 × 2 - 1) × π
    0.397857666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24990672069334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16854614} λ = -0.16854614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24990672069334))-π/2
    2×atan(3.49001739587509)-π/2
    2×1.29174127193406-π/2
    2.58348254386812-1.57079632675     		φ = 1.01268622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16854614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.656982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01268622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.022646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62020 KachelY 39462 -0.16854614 1.01268622 -9.656982 58.022646
    Oben rechts KachelX + 1 62021 KachelY 39462 -0.16849820 1.01268622 -9.654236 58.022646
    Unten links KachelX 62020 KachelY + 1 39463 -0.16854614 1.01266083 -9.656982 58.021192
    Unten rechts KachelX + 1 62021 KachelY + 1 39463 -0.16849820 1.01266083 -9.654236 58.021192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01268622-1.01266083) × R
    2.5390000000014e-05 × 6371000     		dl = 161.759690000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01268622-1.01266083) × R
    2.5390000000014e-05 × 6371000     		dr = 161.759690000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16854614--0.16849820) × cos(1.01268622) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.529584028579156 × 6371000     		do = 161.748593821051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16854614--0.16849820) × cos(1.01266083) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.529605565665936 × 6371000     		du = 161.755171801718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01268622)-sin(1.01266083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529584028579156-0.529605565665936)×R²
    abs(-0.16849820--0.16854614)×2.15370867805431e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15370867805431e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15370867805431e-05×40589641000000     		ar = 26164.9344217636m²