Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62020 / 12969
↖ ↑ ↗
← N 72.956705°
E160.686035°		 ← 179.02 m → N 72.956705°
E160.691528°		 →
↑
179.03 m
↓
↑
179.03 m
↓
N 72.955095°
E160.686035°		 ← 179.03 m →
32 050 m²		 N 72.955095°
E160.691528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946357727050781 y=0.197898864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946357727050781 × 216)
    floor (0.946357727050781 × 65536)
    floor (62020.5)     		tx = 62020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197898864746094 × 216)
    floor (0.197898864746094 × 65536)
    floor (12969.5)     		ty = 12969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62020 / 12969 ti = "16/62020/12969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62020/12969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62020 ÷ 216
    62020 ÷ 65536     		x = 0.94635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12969 ÷ 216
    12969 ÷ 65536     		y = 0.197891235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94635009765625 × 2 - 1) × π
    0.8927001953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80450038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197891235351562 × 2 - 1) × π
    0.604217529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89820535115498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80450038} λ = 2.80450038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89820535115498))-π/2
    2×atan(6.67390636994817)-π/2
    2×1.42206551904228-π/2
    2.84413103808455-1.57079632675     		φ = 1.27333471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80450038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.686035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27333471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.956705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62020 KachelY 12969 2.80450038 1.27333471 160.686035 72.956705
    Oben rechts KachelX + 1 62021 KachelY 12969 2.80459625 1.27333471 160.691528 72.956705
    Unten links KachelX 62020 KachelY + 1 12970 2.80450038 1.27330661 160.686035 72.955095
    Unten rechts KachelX + 1 62021 KachelY + 1 12970 2.80459625 1.27330661 160.691528 72.955095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27333471-1.27330661) × R
    2.81000000001974e-05 × 6371000     		dl = 179.025100001258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27333471-1.27330661) × R
    2.81000000001974e-05 × 6371000     		dr = 179.025100001258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80450038-2.80459625) × cos(1.27333471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293094247090977 × 6371000     		do = 179.018381580523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80450038-2.80459625) × cos(1.27330661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293121112923127 × 6371000     		du = 179.034790902231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27333471)-sin(1.27330661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293094247090977-0.293121112923127)×R²
    abs(2.80459625-2.80450038)×2.68658321503357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68658321503357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68658321503357e-05×40589641000000     		ar = 32050.2525069377m²