Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6202 / 10234
↖ ↑ ↗
← S 40.880295°
W 43.725586°		 ← 1 847.26 m → S 40.880295°
W 43.703613°		 →
↑
1 847.08 m
↓
↑
1 847.08 m
↓
S 40.896906°
W 43.725586°		 ← 1 846.80 m →
3 411 614 m²		 S 40.896906°
W 43.703613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378570556640625 y=0.624664306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378570556640625 × 214)
    floor (0.378570556640625 × 16384)
    floor (6202.5)     		tx = 6202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624664306640625 × 214)
    floor (0.624664306640625 × 16384)
    floor (10234.5)     		ty = 10234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6202 / 10234 ti = "14/6202/10234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6202/10234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6202 ÷ 214
    6202 ÷ 16384     		x = 0.3785400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10234 ÷ 214
    10234 ÷ 16384     		y = 0.6246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76315544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.249267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.783097192193237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76315544} λ = -0.76315544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783097192193237))-π/2
    2×atan(0.456988436170182)-π/2
    2×0.428650291634708-π/2
    0.857300583269417-1.57079632675     		φ = -0.71349574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76315544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.725586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71349574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.880295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6202 KachelY 10234 -0.76315544 -0.71349574 -43.725586 -40.880295
    Oben rechts KachelX + 1 6203 KachelY 10234 -0.76277195 -0.71349574 -43.703613 -40.880295
    Unten links KachelX 6202 KachelY + 1 10235 -0.76315544 -0.71378566 -43.725586 -40.896906
    Unten rechts KachelX + 1 6203 KachelY + 1 10235 -0.76277195 -0.71378566 -43.703613 -40.896906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71349574--0.71378566) × R
    0.000289919999999944 × 6371000     		dl = 1847.08031999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71349574--0.71378566) × R
    0.000289919999999944 × 6371000     		dr = 1847.08031999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76315544--0.76277195) × cos(-0.71349574) × R
    0.000383490000000042 × 0.756078605583225 × 6371000     		do = 1847.26243156371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76315544--0.76277195) × cos(-0.71378566) × R
    0.000383490000000042 × 0.75588882673133 × 6371000     		du = 1846.79876106593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71349574)-sin(-0.71378566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756078605583225-0.75588882673133)×R²
    abs(-0.76277195--0.76315544)×0.000189778851895306×R²
    0.000383490000000042×0.000189778851895306×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189778851895306×40589641000000     		ar = 3411613.88878672m²