Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62014 / 39433
↖ ↑ ↗
← N 58.064803°
W  9.673462°		 ← 161.56 m → N 58.064803°
W  9.670715°		 →
↑
161.57 m
↓
↑
161.57 m
↓
N 58.063350°
W  9.673462°		 ← 161.56 m →
26 103 m²		 N 58.063350°
W  9.670715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473133087158203 y=0.300853729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473133087158203 × 217)
    floor (0.473133087158203 × 131072)
    floor (62014.5)     		tx = 62014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300853729248047 × 217)
    floor (0.300853729248047 × 131072)
    floor (39433.5)     		ty = 39433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62014 / 39433 ti = "17/62014/39433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62014/39433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62014 ÷ 217
    62014 ÷ 131072     		x = 0.473129272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39433 ÷ 217
    39433 ÷ 131072     		y = 0.300849914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473129272460938 × 2 - 1) × π
    -0.053741455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16883376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300849914550781 × 2 - 1) × π
    0.398300170898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.25129689078233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16883376} λ = -0.16883376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25129689078233))-π/2
    2×atan(3.4948724875886)-π/2
    2×1.29210916088659-π/2
    2.58421832177318-1.57079632675     		φ = 1.01342200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16883376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.673462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01342200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.064803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62014 KachelY 39433 -0.16883376 1.01342200 -9.673462 58.064803
    Oben rechts KachelX + 1 62015 KachelY 39433 -0.16878582 1.01342200 -9.670715 58.064803
    Unten links KachelX 62014 KachelY + 1 39434 -0.16883376 1.01339664 -9.673462 58.063350
    Unten rechts KachelX + 1 62015 KachelY + 1 39434 -0.16878582 1.01339664 -9.670715 58.063350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01342200-1.01339664) × R
    2.53599999999743e-05 × 6371000     		dl = 161.568559999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01342200-1.01339664) × R
    2.53599999999743e-05 × 6371000     		dr = 161.568559999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16883376--0.16878582) × cos(1.01342200) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528959754393941 × 6371000     		do = 161.557924415975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16883376--0.16878582) × cos(1.01339664) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528981275909487 × 6371000     		du = 161.564497640787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01342200)-sin(1.01339664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528959754393941-0.528981275909487)×R²
    abs(-0.16878582--0.16883376)×2.15215155461301e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15215155461301e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15215155461301e-05×40589641000000     		ar = 26103.2122189842m²