Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62013 / 12957
↖ ↑ ↗
← N 72.976015°
E160.647583°		 ← 178.82 m → N 72.976015°
E160.653076°		 →
↑
178.83 m
↓
↑
178.83 m
↓
N 72.974406°
E160.647583°		 ← 178.84 m →
31 981 m²		 N 72.974406°
E160.653076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946250915527344 y=0.197715759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946250915527344 × 216)
    floor (0.946250915527344 × 65536)
    floor (62013.5)     		tx = 62013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197715759277344 × 216)
    floor (0.197715759277344 × 65536)
    floor (12957.5)     		ty = 12957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62013 / 12957 ti = "16/62013/12957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62013/12957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62013 ÷ 216
    62013 ÷ 65536     		x = 0.946243286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12957 ÷ 216
    12957 ÷ 65536     		y = 0.197708129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946243286132812 × 2 - 1) × π
    0.892486572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80382926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197708129882812 × 2 - 1) × π
    0.604583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89935583674586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80382926} λ = 2.80382926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89935583674586))-π/2
    2×atan(6.6815890216043)-π/2
    2×1.42223402669954-π/2
    2.84446805339908-1.57079632675     		φ = 1.27367173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80382926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.647583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27367173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.976015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62013 KachelY 12957 2.80382926 1.27367173 160.647583 72.976015
    Oben rechts KachelX + 1 62014 KachelY 12957 2.80392513 1.27367173 160.653076 72.976015
    Unten links KachelX 62013 KachelY + 1 12958 2.80382926 1.27364366 160.647583 72.974406
    Unten rechts KachelX + 1 62014 KachelY + 1 12958 2.80392513 1.27364366 160.653076 72.974406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27367173-1.27364366) × R
    2.80699999999356e-05 × 6371000     		dl = 178.83396999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27367173-1.27364366) × R
    2.80699999999356e-05 × 6371000     		dr = 178.83396999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80382926-2.80392513) × cos(1.27367173) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292772011172506 × 6371000     		do = 178.821563822466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80382926-2.80392513) × cos(1.27364366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292798851093715 × 6371000     		du = 178.837957318088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27367173)-sin(1.27364366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292772011172506-0.292798851093715)×R²
    abs(2.80392513-2.80382926)×2.68399212091097e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68399212091097e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68399212091097e-05×40589641000000     		ar = 31980.8360390793m²