Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62012 / 39337
↖ ↑ ↗
← N 58.204003°
W  9.678955°		 ← 160.89 m → N 58.204003°
W  9.676209°		 →
↑
160.93 m
↓
↑
160.93 m
↓
N 58.202556°
W  9.678955°		 ← 160.90 m →
25 893 m²		 N 58.202556°
W  9.676209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473117828369141 y=0.300121307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473117828369141 × 217)
    floor (0.473117828369141 × 131072)
    floor (62012.5)     		tx = 62012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300121307373047 × 217)
    floor (0.300121307373047 × 131072)
    floor (39337.5)     		ty = 39337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62012 / 39337 ti = "17/62012/39337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62012/39337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62012 ÷ 217
    62012 ÷ 131072     		x = 0.473114013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39337 ÷ 217
    39337 ÷ 131072     		y = 0.300117492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473114013671875 × 2 - 1) × π
    -0.05377197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16892963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300117492675781 × 2 - 1) × π
    0.399765014648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.25589883314585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16892963} λ = -0.16892963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25589883314585))-π/2
    2×atan(3.51099275316148)-π/2
    2×1.29332390725519-π/2
    2.58664781451037-1.57079632675     		φ = 1.01585149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16892963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.678955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01585149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.204003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62012 KachelY 39337 -0.16892963 1.01585149 -9.678955 58.204003
    Oben rechts KachelX + 1 62013 KachelY 39337 -0.16888170 1.01585149 -9.676209 58.204003
    Unten links KachelX 62012 KachelY + 1 39338 -0.16892963 1.01582623 -9.678955 58.202556
    Unten rechts KachelX + 1 62013 KachelY + 1 39338 -0.16888170 1.01582623 -9.676209 58.202556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01585149-1.01582623) × R
    2.52599999999159e-05 × 6371000     		dl = 160.931459999464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01585149-1.01582623) × R
    2.52599999999159e-05 × 6371000     		dr = 160.931459999464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16892963--0.16888170) × cos(1.01585149) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.526896416169282 × 6371000     		do = 160.894159241182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16892963--0.16888170) × cos(1.01582623) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.526917885220526 × 6371000     		du = 160.900715074252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01585149)-sin(1.01582623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526896416169282-0.526917885220526)×R²
    abs(-0.16888170--0.16892963)×2.1469051243117e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1469051243117e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1469051243117e-05×40589641000000     		ar = 25893.4594733163m²