Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62011 / 39373
↖ ↑ ↗
← N 58.151867°
W  9.681702°		 ← 161.16 m → N 58.151867°
W  9.678955°		 →
↑
161.12 m
↓
↑
161.12 m
↓
N 58.150418°
W  9.681702°		 ← 161.17 m →
25 968 m²		 N 58.150418°
W  9.678955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473110198974609 y=0.300395965576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473110198974609 × 217)
    floor (0.473110198974609 × 131072)
    floor (62011.5)     		tx = 62011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300395965576172 × 217)
    floor (0.300395965576172 × 131072)
    floor (39373.5)     		ty = 39373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62011 / 39373 ti = "17/62011/39373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62011/39373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62011 ÷ 217
    62011 ÷ 131072     		x = 0.473106384277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39373 ÷ 217
    39373 ÷ 131072     		y = 0.300392150878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473106384277344 × 2 - 1) × π
    -0.0537872314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16897757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300392150878906 × 2 - 1) × π
    0.399215698242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.25417310475953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16897757} λ = -0.16897757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25417310475953))-π/2
    2×atan(3.50493895840832)-π/2
    2×1.29286893368111-π/2
    2.58573786736222-1.57079632675     		φ = 1.01494154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16897757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.681702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01494154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.151867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62011 KachelY 39373 -0.16897757 1.01494154 -9.681702 58.151867
    Oben rechts KachelX + 1 62012 KachelY 39373 -0.16892963 1.01494154 -9.678955 58.151867
    Unten links KachelX 62011 KachelY + 1 39374 -0.16897757 1.01491625 -9.681702 58.150418
    Unten rechts KachelX + 1 62012 KachelY + 1 39374 -0.16892963 1.01491625 -9.678955 58.150418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01494154-1.01491625) × R
    2.52899999999556e-05 × 6371000     		dl = 161.122589999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01494154-1.01491625) × R
    2.52899999999556e-05 × 6371000     		dr = 161.122589999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16897757--0.16892963) × cos(1.01494154) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527669591279845 × 6371000     		do = 161.163875392132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16897757--0.16892963) × cos(1.01491625) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527691073694155 × 6371000     		du = 161.170436674419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01494154)-sin(1.01491625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527669591279845-0.527691073694155)×R²
    abs(-0.16892963--0.16897757)×2.14824143092152e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14824143092152e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14824143092152e-05×40589641000000     		ar = 25967.6696044759m²