Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 62011 / 12959
↖ ↑ ↗
← N 72.972797°
E160.636597°		 ← 178.85 m → N 72.972797°
E160.642090°		 →
↑
178.83 m
↓
↑
178.83 m
↓
N 72.971189°
E160.636597°		 ← 178.87 m →
31 987 m²		 N 72.971189°
E160.642090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946220397949219 y=0.197746276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946220397949219 × 216)
    floor (0.946220397949219 × 65536)
    floor (62011.5)     		tx = 62011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197746276855469 × 216)
    floor (0.197746276855469 × 65536)
    floor (12959.5)     		ty = 12959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62011 / 12959 ti = "16/62011/12959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62011/12959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62011 ÷ 216
    62011 ÷ 65536     		x = 0.946212768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12959 ÷ 216
    12959 ÷ 65536     		y = 0.197738647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946212768554688 × 2 - 1) × π
    0.892425537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80363751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197738647460938 × 2 - 1) × π
    0.604522705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.89916408914738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80363751} λ = 2.80363751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89916408914738))-π/2
    2×atan(6.68030796577899)-π/2
    2×1.42220595496088-π/2
    2.84441190992176-1.57079632675     		φ = 1.27361558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80363751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.636597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27361558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.972797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62011 KachelY 12959 2.80363751 1.27361558 160.636597 72.972797
    Oben rechts KachelX + 1 62012 KachelY 12959 2.80373338 1.27361558 160.642090 72.972797
    Unten links KachelX 62011 KachelY + 1 12960 2.80363751 1.27358751 160.636597 72.971189
    Unten rechts KachelX + 1 62012 KachelY + 1 12960 2.80373338 1.27358751 160.642090 72.971189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27361558-1.27358751) × R
    2.80699999999356e-05 × 6371000     		dl = 178.83396999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27361558-1.27358751) × R
    2.80699999999356e-05 × 6371000     		dr = 178.83396999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80363751-2.80373338) × cos(1.27361558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292825700345879 × 6371000     		do = 178.854356512944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80363751-2.80373338) × cos(1.27358751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292852539805578 × 6371000     		du = 178.870749726681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27361558)-sin(1.27358751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292825700345879-0.292852539805578)×R²
    abs(2.80373338-2.80363751)×2.68394596987798e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68394596987798e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68394596987798e-05×40589641000000     		ar = 31986.7004608125m²