Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62010 / 35151
↖ ↑ ↗
← N 63.764279°
W  9.684448°		 ← 135.02 m → N 63.764279°
W  9.681702°		 →
↑
135 m
↓
↑
135 m
↓
N 63.763065°
W  9.684448°		 ← 135.02 m →
18 228 m²		 N 63.763065°
W  9.681702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473102569580078 y=0.268184661865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473102569580078 × 217)
    floor (0.473102569580078 × 131072)
    floor (62010.5)     		tx = 62010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268184661865234 × 217)
    floor (0.268184661865234 × 131072)
    floor (35151.5)     		ty = 35151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62010 / 35151 ti = "17/62010/35151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62010/35151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62010 ÷ 217
    62010 ÷ 131072     		x = 0.473098754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35151 ÷ 217
    35151 ÷ 131072     		y = 0.268180847167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473098754882812 × 2 - 1) × π
    -0.053802490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16902551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268180847167969 × 2 - 1) × π
    0.463638305664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.45656269495541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16902551} λ = -0.16902551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45656269495541))-π/2
    2×atan(4.29118404041399)-π/2
    2×1.34184647356254-π/2
    2.68369294712508-1.57079632675     		φ = 1.11289662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16902551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.684448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11289662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.764279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62010 KachelY 35151 -0.16902551 1.11289662 -9.684448 63.764279
    Oben rechts KachelX + 1 62011 KachelY 35151 -0.16897757 1.11289662 -9.681702 63.764279
    Unten links KachelX 62010 KachelY + 1 35152 -0.16902551 1.11287543 -9.684448 63.763065
    Unten rechts KachelX + 1 62011 KachelY + 1 35152 -0.16897757 1.11287543 -9.681702 63.763065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11289662-1.11287543) × R
    2.11899999997822e-05 × 6371000     		dl = 135.001489998612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11289662-1.11287543) × R
    2.11899999997822e-05 × 6371000     		dr = 135.001489998612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16902551--0.16897757) × cos(1.11289662) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.4420651561986 × 6371000     		do = 135.018077460163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16902551--0.16897757) × cos(1.11287543) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.442084163167885 × 6371000     		du = 135.023882677822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11289662)-sin(1.11287543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4420651561986-0.442084163167885)×R²
    abs(-0.16897757--0.16902551)×1.90069692855288e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90069692855288e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90069692855288e-05×40589641000000     		ar = 18228.0334910906m²