Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62010 / 12852
↖ ↑ ↗
← N 73.144070°
E160.631104°		 ← 177.11 m → N 73.144070°
E160.636597°		 →
↑
177.18 m
↓
↑
177.18 m
↓
N 73.142477°
E160.631104°		 ← 177.12 m →
31 381 m²		 N 73.142477°
E160.636597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946205139160156 y=0.196113586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946205139160156 × 216)
    floor (0.946205139160156 × 65536)
    floor (62010.5)     		tx = 62010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196113586425781 × 216)
    floor (0.196113586425781 × 65536)
    floor (12852.5)     		ty = 12852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62010 / 12852 ti = "16/62010/12852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62010/12852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62010 ÷ 216
    62010 ÷ 65536     		x = 0.946197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12852 ÷ 216
    12852 ÷ 65536     		y = 0.19610595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946197509765625 × 2 - 1) × π
    0.89239501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80354164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19610595703125 × 2 - 1) × π
    0.6077880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90942258566608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80354164} λ = 2.80354164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90942258566608))-π/2
    2×atan(6.74919059380871)-π/2
    2×1.42370058614635-π/2
    2.8474011722927-1.57079632675     		φ = 1.27660485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80354164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.631104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27660485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.144070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62010 KachelY 12852 2.80354164 1.27660485 160.631104 73.144070
    Oben rechts KachelX + 1 62011 KachelY 12852 2.80363751 1.27660485 160.636597 73.144070
    Unten links KachelX 62010 KachelY + 1 12853 2.80354164 1.27657704 160.631104 73.142477
    Unten rechts KachelX + 1 62011 KachelY + 1 12853 2.80363751 1.27657704 160.636597 73.142477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27660485-1.27657704) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dl = 177.177509999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27660485-1.27657704) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dr = 177.177509999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80354164-2.80363751) × cos(1.27660485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.289966158443433 × 6371000     		do = 177.107783291127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80354164-2.80363751) × cos(1.27657704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.289992773527474 × 6371000     		du = 177.124039458957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27660485)-sin(1.27657704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289966158443433-0.289992773527474)×R²
    abs(2.80363751-2.80354164)×2.66150840415591e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.66150840415591e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.66150840415591e-05×40589641000000     		ar = 31380.9561610059m²