Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6201 / 7306
↖ ↑ ↗
← N 19.103648°
W 43.747559°		 ← 2 308.72 m → N 19.103648°
W 43.725586°		 →
↑
2 308.85 m
↓
↑
2 308.85 m
↓
N 19.082884°
W 43.747559°		 ← 2 309.01 m →
5 330 829 m²		 N 19.082884°
W 43.725586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378509521484375 y=0.445953369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378509521484375 × 214)
    floor (0.378509521484375 × 16384)
    floor (6201.5)     		tx = 6201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445953369140625 × 214)
    floor (0.445953369140625 × 16384)
    floor (7306.5)     		ty = 7306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6201 / 7306 ti = "14/6201/7306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6201/7306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6201 ÷ 214
    6201 ÷ 16384     		x = 0.37847900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7306 ÷ 214
    7306 ÷ 16384     		y = 0.4459228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37847900390625 × 2 - 1) × π
    -0.2430419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76353894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4459228515625 × 2 - 1) × π
    0.108154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.339776744506958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76353894} λ = -0.76353894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339776744506958))-π/2
    2×atan(1.40463396330737)-π/2
    2×0.952108943960054-π/2
    1.90421788792011-1.57079632675     		φ = 0.33342156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76353894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.747559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33342156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.103648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6201 KachelY 7306 -0.76353894 0.33342156 -43.747559 19.103648
    Oben rechts KachelX + 1 6202 KachelY 7306 -0.76315544 0.33342156 -43.725586 19.103648
    Unten links KachelX 6201 KachelY + 1 7307 -0.76353894 0.33305916 -43.747559 19.082884
    Unten rechts KachelX + 1 6202 KachelY + 1 7307 -0.76315544 0.33305916 -43.725586 19.082884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33342156-0.33305916) × R
    0.000362399999999985 × 6371000     		dl = 2308.8503999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33342156-0.33305916) × R
    0.000362399999999985 × 6371000     		dr = 2308.8503999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76353894--0.76315544) × cos(0.33342156) × R
    0.000383499999999981 × 0.944928075339579 × 6371000     		do = 2308.72245052346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76353894--0.76315544) × cos(0.33305916) × R
    0.000383499999999981 × 0.945046618857596 × 6371000     		du = 2309.01208535235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33342156)-sin(0.33305916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944928075339579-0.945046618857596)×R²
    abs(-0.76315544--0.76353894)×0.000118543518016878×R²
    0.000383499999999981×0.000118543518016878×6371000²
    0.000383499999999981×0.000118543518016878×40589641000000     		ar = 5330829.17346834m²