Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62005 / 34187
↖ ↑ ↗
← N 64.910734°
W  9.698181°		 ← 129.48 m → N 64.910734°
W  9.695435°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
N 64.909569°
W  9.698181°		 ← 129.49 m →
16 771 m²		 N 64.909569°
W  9.695435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473064422607422 y=0.260829925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473064422607422 × 217)
    floor (0.473064422607422 × 131072)
    floor (62005.5)     		tx = 62005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260829925537109 × 217)
    floor (0.260829925537109 × 131072)
    floor (34187.5)     		ty = 34187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62005 / 34187 ti = "17/62005/34187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62005/34187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62005 ÷ 217
    62005 ÷ 131072     		x = 0.473060607910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34187 ÷ 217
    34187 ÷ 131072     		y = 0.260826110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473060607910156 × 2 - 1) × π
    -0.0538787841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16926519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260826110839844 × 2 - 1) × π
    0.478347778320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.50277386618914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16926519} λ = -0.16926519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50277386618914))-π/2
    2×atan(4.49413793387921)-π/2
    2×1.35185117611811-π/2
    2.70370235223622-1.57079632675     		φ = 1.13290603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16926519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.698181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13290603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.910734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62005 KachelY 34187 -0.16926519 1.13290603 -9.698181 64.910734
    Oben rechts KachelX + 1 62006 KachelY 34187 -0.16921726 1.13290603 -9.695435 64.910734
    Unten links KachelX 62005 KachelY + 1 34188 -0.16926519 1.13288570 -9.698181 64.909569
    Unten rechts KachelX + 1 62006 KachelY + 1 34188 -0.16921726 1.13288570 -9.695435 64.909569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13290603-1.13288570) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dl = 129.522429999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13290603-1.13288570) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dr = 129.522429999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16926519--0.16921726) × cos(1.13290603) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424029761102739 × 6371000     		do = 129.482588630752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16926519--0.16921726) × cos(1.13288570) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424048172844133 × 6371000     		du = 129.48821087748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13290603)-sin(1.13288570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424029761102739-0.424048172844133)×R²
    abs(-0.16921726--0.16926519)×1.84117413942197e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84117413942197e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84117413942197e-05×40589641000000     		ar = 16771.2636262585m²