Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 62001 / 12856
↖ ↑ ↗
← N 73.137697°
E160.581665°		 ← 177.19 m → N 73.137697°
E160.587158°		 →
↑
177.18 m
↓
↑
177.18 m
↓
N 73.136104°
E160.581665°		 ← 177.21 m →
31 396 m²		 N 73.136104°
E160.587158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946067810058594 y=0.196174621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946067810058594 × 216)
    floor (0.946067810058594 × 65536)
    floor (62001.5)     		tx = 62001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196174621582031 × 216)
    floor (0.196174621582031 × 65536)
    floor (12856.5)     		ty = 12856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62001 / 12856 ti = "16/62001/12856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62001/12856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62001 ÷ 216
    62001 ÷ 65536     		x = 0.946060180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12856 ÷ 216
    12856 ÷ 65536     		y = 0.1961669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946060180664062 × 2 - 1) × π
    0.892120361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80267877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1961669921875 × 2 - 1) × π
    0.607666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90903909046912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80267877} λ = 2.80267877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90903909046912))-π/2
    2×atan(6.74660280786607)-π/2
    2×1.42364497562668-π/2
    2.84728995125336-1.57079632675     		φ = 1.27649362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80267877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.581665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27649362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.137697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62001 KachelY 12856 2.80267877 1.27649362 160.581665 73.137697
    Oben rechts KachelX + 1 62002 KachelY 12856 2.80277465 1.27649362 160.587158 73.137697
    Unten links KachelX 62001 KachelY + 1 12857 2.80267877 1.27646581 160.581665 73.136104
    Unten rechts KachelX + 1 62002 KachelY + 1 12857 2.80277465 1.27646581 160.587158 73.136104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27649362-1.27646581) × R
    2.78100000001835e-05 × 6371000     		dl = 177.177510001169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27649362-1.27646581) × R
    2.78100000001835e-05 × 6371000     		dr = 177.177510001169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80267877-2.80277465) × cos(1.27649362) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.290072607863795 × 6371000     		do = 177.191281820942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80267877-2.80277465) × cos(1.27646581) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.290099222050677 × 6371000     		du = 177.207539136388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27649362)-sin(1.27646581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290072607863795-0.290099222050677)×R²
    abs(2.80277465-2.80267877)×2.66141868818237e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.66141868818237e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.66141868818237e-05×40589641000000     		ar = 31395.7503245189m²