Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62000 / 28240
↖ ↑ ↗
← N 71.002660°
W  9.711914°		 ← 99.42 m → N 71.002660°
W  9.709167°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
N 71.001765°
W  9.711914°		 ← 99.43 m →
9 888 m²		 N 71.001765°
W  9.709167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473026275634766 y=0.215457916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473026275634766 × 217)
    floor (0.473026275634766 × 131072)
    floor (62000.5)     		tx = 62000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215457916259766 × 217)
    floor (0.215457916259766 × 131072)
    floor (28240.5)     		ty = 28240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62000 / 28240 ti = "17/62000/28240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62000/28240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62000 ÷ 217
    62000 ÷ 131072     		x = 0.4730224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28240 ÷ 217
    28240 ÷ 131072     		y = 0.2154541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.053955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16950488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2154541015625 × 2 - 1) × π
    0.569091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78785460822961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16950488} λ = -0.16950488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78785460822961))-π/2
    2×atan(5.9766165183446)-π/2
    2×1.40501325791525-π/2
    2.81002651583051-1.57079632675     		φ = 1.23923019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16950488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.711914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23923019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.002660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62000 KachelY 28240 -0.16950488 1.23923019 -9.711914 71.002660
    Oben rechts KachelX + 1 62001 KachelY 28240 -0.16945694 1.23923019 -9.709167 71.002660
    Unten links KachelX 62000 KachelY + 1 28241 -0.16950488 1.23921458 -9.711914 71.001765
    Unten rechts KachelX + 1 62001 KachelY + 1 28241 -0.16945694 1.23921458 -9.709167 71.001765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23923019-1.23921458) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dl = 99.4513099996415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23923019-1.23921458) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dr = 99.4513099996415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16950488--0.16945694) × cos(1.23923019) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.32552426210914 × 6371000     		do = 99.4234886426305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16950488--0.16945694) × cos(1.23921458) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.325539021850346 × 6371000     		du = 99.4279966475103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23923019)-sin(1.23921458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32552426210914-0.325539021850346)×R²
    abs(-0.16945694--0.16950488)×1.47597412054057e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47597412054057e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47597412054057e-05×40589641000000     		ar = 9888.02035399777m²