Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6200 / 7302
↖ ↑ ↗
← N 19.186678°
W 43.769531°		 ← 2 307.50 m → N 19.186678°
W 43.747559°		 →
↑
2 307.70 m
↓
↑
2 307.70 m
↓
N 19.165924°
W 43.769531°		 ← 2 307.79 m →
5 325 364 m²		 N 19.165924°
W 43.747559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378448486328125 y=0.445709228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378448486328125 × 214)
    floor (0.378448486328125 × 16384)
    floor (6200.5)     		tx = 6200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445709228515625 × 214)
    floor (0.445709228515625 × 16384)
    floor (7302.5)     		ty = 7302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6200 / 7302 ti = "14/6200/7302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6200/7302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6200 ÷ 214
    6200 ÷ 16384     		x = 0.37841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7302 ÷ 214
    7302 ÷ 16384     		y = 0.4456787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76392243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4456787109375 × 2 - 1) × π
    0.108642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3413107252948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76392243} λ = -0.76392243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3413107252948))-π/2
    2×atan(1.40679029828641)-π/2
    2×0.952833512567007-π/2
    1.90566702513401-1.57079632675     		φ = 0.33487070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76392243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33487070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.186678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6200 KachelY 7302 -0.76392243 0.33487070 -43.769531 19.186678
    Oben rechts KachelX + 1 6201 KachelY 7302 -0.76353894 0.33487070 -43.747559 19.186678
    Unten links KachelX 6200 KachelY + 1 7303 -0.76392243 0.33450848 -43.769531 19.165924
    Unten rechts KachelX + 1 6201 KachelY + 1 7303 -0.76353894 0.33450848 -43.747559 19.165924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33487070-0.33450848) × R
    0.000362220000000024 × 6371000     		dl = 2307.70362000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33487070-0.33450848) × R
    0.000362220000000024 × 6371000     		dr = 2307.70362000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76392243--0.76353894) × cos(0.33487070) × R
    0.000383490000000042 × 0.944452811591632 × 6371000     		do = 2307.50107773801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76392243--0.76353894) × cos(0.33450848) × R
    0.000383490000000042 × 0.94457179216757 × 6371000     		du = 2307.79177284086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33487070)-sin(0.33450848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944452811591632-0.94457179216757)×R²
    abs(-0.76353894--0.76392243)×0.000118980575937511×R²
    0.000383490000000042×0.000118980575937511×6371000²
    0.000383490000000042×0.000118980575937511×40589641000000     		ar = 5325364.06754571m²