Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61997 / 39438
↖ ↑ ↗
← N 58.057538°
W  9.720154°		 ← 161.59 m → N 58.057538°
W  9.717407°		 →
↑
161.57 m
↓
↑
161.57 m
↓
N 58.056085°
W  9.720154°		 ← 161.60 m →
26 109 m²		 N 58.056085°
W  9.717407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473003387451172 y=0.300891876220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473003387451172 × 217)
    floor (0.473003387451172 × 131072)
    floor (61997.5)     		tx = 61997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300891876220703 × 217)
    floor (0.300891876220703 × 131072)
    floor (39438.5)     		ty = 39438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61997 / 39438 ti = "17/61997/39438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61997/39438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61997 ÷ 217
    61997 ÷ 131072     		x = 0.472999572753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39438 ÷ 217
    39438 ÷ 131072     		y = 0.300888061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472999572753906 × 2 - 1) × π
    -0.0540008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16964869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300888061523438 × 2 - 1) × π
    0.398223876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25105720628423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16964869} λ = -0.16964869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25105720628423))-π/2
    2×atan(3.49403492121034)-π/2
    2×1.29204576271201-π/2
    2.58409152542402-1.57079632675     		φ = 1.01329520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16964869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.720154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01329520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.057538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61997 KachelY 39438 -0.16964869 1.01329520 -9.720154 58.057538
    Oben rechts KachelX + 1 61998 KachelY 39438 -0.16960075 1.01329520 -9.717407 58.057538
    Unten links KachelX 61997 KachelY + 1 39439 -0.16964869 1.01326984 -9.720154 58.056085
    Unten rechts KachelX + 1 61998 KachelY + 1 39439 -0.16960075 1.01326984 -9.717407 58.056085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01329520-1.01326984) × R
    2.53599999999743e-05 × 6371000     		dl = 161.568559999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01329520-1.01326984) × R
    2.53599999999743e-05 × 6371000     		dr = 161.568559999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16964869--0.16960075) × cos(1.01329520) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529067358569498 × 6371000     		do = 161.590789500922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16964869--0.16960075) × cos(1.01326984) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529088878383888 × 6371000     		du = 161.597362206157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01329520)-sin(1.01326984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529067358569498-0.529088878383888)×R²
    abs(-0.16960075--0.16964869)×2.15198143901363e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15198143901363e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15198143901363e-05×40589641000000     		ar = 26108.5221415966m²