Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61996 / 35164
↖ ↑ ↗
← N 63.748491°
W  9.722900°		 ← 135.07 m → N 63.748491°
W  9.720154°		 →
↑
135.13 m
↓
↑
135.13 m
↓
N 63.747276°
W  9.722900°		 ← 135.07 m →
18 252 m²		 N 63.747276°
W  9.720154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472995758056641 y=0.268283843994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472995758056641 × 217)
    floor (0.472995758056641 × 131072)
    floor (61996.5)     		tx = 61996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268283843994141 × 217)
    floor (0.268283843994141 × 131072)
    floor (35164.5)     		ty = 35164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61996 / 35164 ti = "17/61996/35164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61996/35164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61996 ÷ 217
    61996 ÷ 131072     		x = 0.472991943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35164 ÷ 217
    35164 ÷ 131072     		y = 0.268280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.05401611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16969662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268280029296875 × 2 - 1) × π
    0.46343994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45593951526035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16969662} λ = -0.16969662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45593951526035))-π/2
    2×atan(4.28851069472612)-π/2
    2×1.34170869204468-π/2
    2.68341738408936-1.57079632675     		φ = 1.11262106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16969662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.722900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11262106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.748491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61996 KachelY 35164 -0.16969662 1.11262106 -9.722900 63.748491
    Oben rechts KachelX + 1 61997 KachelY 35164 -0.16964869 1.11262106 -9.720154 63.748491
    Unten links KachelX 61996 KachelY + 1 35165 -0.16969662 1.11259985 -9.722900 63.747276
    Unten rechts KachelX + 1 61997 KachelY + 1 35165 -0.16964869 1.11259985 -9.720154 63.747276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11262106-1.11259985) × R
    2.12099999998827e-05 × 6371000     		dl = 135.128909999253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11262106-1.11259985) × R
    2.12099999998827e-05 × 6371000     		dr = 135.128909999253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16969662--0.16964869) × cos(1.11262106) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.442312312031147 × 6371000     		do = 135.065385495829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16969662--0.16964869) × cos(1.11259985) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.442331334355419 × 6371000     		du = 135.071194191384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11262106)-sin(1.11259985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442312312031147-0.442331334355419)×R²
    abs(-0.16964869--0.16969662)×1.90223242729215e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.90223242729215e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.90223242729215e-05×40589641000000     		ar = 18251.630782806m²