Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61996 / 13032
↖ ↑ ↗
← N 72.854981°
E160.554199°		 ← 180.07 m → N 72.854981°
E160.559692°		 →
↑
180.11 m
↓
↑
180.11 m
↓
N 72.853361°
E160.554199°		 ← 180.09 m →
32 434 m²		 N 72.853361°
E160.559692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945991516113281 y=0.198860168457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945991516113281 × 216)
    floor (0.945991516113281 × 65536)
    floor (61996.5)     		tx = 61996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198860168457031 × 216)
    floor (0.198860168457031 × 65536)
    floor (13032.5)     		ty = 13032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61996 / 13032 ti = "16/61996/13032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61996/13032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61996 ÷ 216
    61996 ÷ 65536     		x = 0.94598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13032 ÷ 216
    13032 ÷ 65536     		y = 0.1988525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94598388671875 × 2 - 1) × π
    0.8919677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80219940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1988525390625 × 2 - 1) × π
    0.602294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89216530180286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80219940} λ = 2.80219940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89216530180286))-π/2
    2×atan(6.63371714074865)-π/2
    2×1.42117780694239-π/2
    2.84235561388477-1.57079632675     		φ = 1.27155929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80219940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.554199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27155929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.854981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61996 KachelY 13032 2.80219940 1.27155929 160.554199 72.854981
    Oben rechts KachelX + 1 61997 KachelY 13032 2.80229528 1.27155929 160.559692 72.854981
    Unten links KachelX 61996 KachelY + 1 13033 2.80219940 1.27153102 160.554199 72.853361
    Unten rechts KachelX + 1 61997 KachelY + 1 13033 2.80229528 1.27153102 160.559692 72.853361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27155929-1.27153102) × R
    2.82699999998304e-05 × 6371000     		dl = 180.108169998919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27155929-1.27153102) × R
    2.82699999998304e-05 × 6371000     		dr = 180.108169998919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80219940-2.80229528) × cos(1.27155929) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.294791234129309 × 6371000     		do = 180.073661658797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80219940-2.80229528) × cos(1.27153102) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.29481824774026 × 6371000     		du = 180.090162963027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27155929)-sin(1.27153102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294791234129309-0.29481824774026)×R²
    abs(2.80229528-2.80219940)×2.70136109514207e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.70136109514207e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.70136109514207e-05×40589641000000     		ar = 32434.2236785184m²