Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61996 / 12892
↖ ↑ ↗
← N 73.080240°
E160.554199°		 ← 177.78 m → N 73.080240°
E160.559692°		 →
↑
177.81 m
↓
↑
177.81 m
↓
N 73.078641°
E160.554199°		 ← 177.79 m →
31 613 m²		 N 73.078641°
E160.559692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945991516113281 y=0.196723937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945991516113281 × 216)
    floor (0.945991516113281 × 65536)
    floor (61996.5)     		tx = 61996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196723937988281 × 216)
    floor (0.196723937988281 × 65536)
    floor (12892.5)     		ty = 12892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61996 / 12892 ti = "16/61996/12892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61996/12892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61996 ÷ 216
    61996 ÷ 65536     		x = 0.94598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12892 ÷ 216
    12892 ÷ 65536     		y = 0.19671630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94598388671875 × 2 - 1) × π
    0.8919677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80219940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19671630859375 × 2 - 1) × π
    0.6065673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90558763369647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80219940} λ = 2.80219940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90558763369647))-π/2
    2×atan(6.72335733835518)-π/2
    2×1.42314356153983-π/2
    2.84628712307965-1.57079632675     		φ = 1.27549080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80219940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.554199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27549080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.080240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61996 KachelY 12892 2.80219940 1.27549080 160.554199 73.080240
    Oben rechts KachelX + 1 61997 KachelY 12892 2.80229528 1.27549080 160.559692 73.080240
    Unten links KachelX 61996 KachelY + 1 12893 2.80219940 1.27546289 160.554199 73.078641
    Unten rechts KachelX + 1 61997 KachelY + 1 12893 2.80229528 1.27546289 160.559692 73.078641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27549080-1.27546289) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dl = 177.814610000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27549080-1.27546289) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dr = 177.814610000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80219940-2.80229528) × cos(1.27549080) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.291032165241197 × 6371000     		do = 177.777428865073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80219940-2.80229528) × cos(1.27546289) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.291058866995175 × 6371000     		du = 177.793739671009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27549080)-sin(1.27546289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291032165241197-0.291058866995175)×R²
    abs(2.80229528-2.80219940)×2.6701753977787e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.6701753977787e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.6701753977787e-05×40589641000000     		ar = 31612.8743321954m²