Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61993 / 39411
↖ ↑ ↗
← N 58.096751°
W  9.731140°		 ← 161.41 m → N 58.096751°
W  9.728394°		 →
↑
161.38 m
↓
↑
161.38 m
↓
N 58.095300°
W  9.731140°		 ← 161.42 m →
26 049 m²		 N 58.095300°
W  9.728394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472972869873047 y=0.300685882568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472972869873047 × 217)
    floor (0.472972869873047 × 131072)
    floor (61993.5)     		tx = 61993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300685882568359 × 217)
    floor (0.300685882568359 × 131072)
    floor (39411.5)     		ty = 39411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61993 / 39411 ti = "17/61993/39411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61993/39411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61993 ÷ 217
    61993 ÷ 131072     		x = 0.472969055175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39411 ÷ 217
    39411 ÷ 131072     		y = 0.300682067871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472969055175781 × 2 - 1) × π
    -0.0540618896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16984044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300682067871094 × 2 - 1) × π
    0.398635864257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.25235150257397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16984044} λ = -0.16984044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25235150257397))-π/2
    2×atan(3.49856016551682)-π/2
    2×1.29238795969142-π/2
    2.58477591938284-1.57079632675     		φ = 1.01397959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16984044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.731140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01397959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.096751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61993 KachelY 39411 -0.16984044 1.01397959 -9.731140 58.096751
    Oben rechts KachelX + 1 61994 KachelY 39411 -0.16979250 1.01397959 -9.728394 58.096751
    Unten links KachelX 61993 KachelY + 1 39412 -0.16984044 1.01395426 -9.731140 58.095300
    Unten rechts KachelX + 1 61994 KachelY + 1 39412 -0.16979250 1.01395426 -9.728394 58.095300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01397959-1.01395426) × R
    2.53299999999346e-05 × 6371000     		dl = 161.377429999583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01397959-1.01395426) × R
    2.53299999999346e-05 × 6371000     		dr = 161.377429999583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16984044--0.16979250) × cos(1.01397959) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52848647515925 × 6371000     		do = 161.413372755493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16984044--0.16979250) × cos(1.01395426) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528507978683499 × 6371000     		du = 161.419940485299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01397959)-sin(1.01395426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52848647515925-0.528507978683499)×R²
    abs(-0.16979250--0.16984044)×2.15035242485673e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15035242485673e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15035242485673e-05×40589641000000     		ar = 26049.0052059177m²