Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61993 / 12971
↖ ↑ ↗
← N 72.953485°
E160.537720°		 ← 179.07 m → N 72.953485°
E160.543213°		 →
↑
179.09 m
↓
↑
179.09 m
↓
N 72.951874°
E160.537720°		 ← 179.09 m →
32 071 m²		 N 72.951874°
E160.543213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945945739746094 y=0.197929382324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945945739746094 × 216)
    floor (0.945945739746094 × 65536)
    floor (61993.5)     		tx = 61993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197929382324219 × 216)
    floor (0.197929382324219 × 65536)
    floor (12971.5)     		ty = 12971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61993 / 12971 ti = "16/61993/12971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61993/12971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61993 ÷ 216
    61993 ÷ 65536     		x = 0.945938110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12971 ÷ 216
    12971 ÷ 65536     		y = 0.197921752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945938110351562 × 2 - 1) × π
    0.891876220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80191178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197921752929688 × 2 - 1) × π
    0.604156494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8980136035565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80191178} λ = 2.80191178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8980136035565))-π/2
    2×atan(6.67262678711165)-π/2
    2×1.4220374164075-π/2
    2.844074832815-1.57079632675     		φ = 1.27327851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80191178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.537720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27327851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.953485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61993 KachelY 12971 2.80191178 1.27327851 160.537720 72.953485
    Oben rechts KachelX + 1 61994 KachelY 12971 2.80200766 1.27327851 160.543213 72.953485
    Unten links KachelX 61993 KachelY + 1 12972 2.80191178 1.27325040 160.537720 72.951874
    Unten rechts KachelX + 1 61994 KachelY + 1 12972 2.80200766 1.27325040 160.543213 72.951874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27327851-1.27325040) × R
    2.81099999999146e-05 × 6371000     		dl = 179.088809999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27327851-1.27325040) × R
    2.81099999999146e-05 × 6371000     		dr = 179.088809999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80191178-2.80200766) × cos(1.27327851) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.293147978523826 × 6371000     		do = 179.06987654017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80191178-2.80200766) × cos(1.27325040) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.293174853453641 × 6371000     		du = 179.086293130822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27327851)-sin(1.27325040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293147978523826-0.293174853453641)×R²
    abs(2.80200766-2.80191178)×2.68749298145687e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.68749298145687e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.68749298145687e-05×40589641000000     		ar = 32070.8811120878m²