Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61992 / 35163
↖ ↑ ↗
← N 63.749706°
W  9.733887°		 ← 135.06 m → N 63.749706°
W  9.731140°		 →
↑
135.07 m
↓
↑
135.07 m
↓
N 63.748491°
W  9.733887°		 ← 135.07 m →
18 242 m²		 N 63.748491°
W  9.731140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472965240478516 y=0.268276214599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472965240478516 × 217)
    floor (0.472965240478516 × 131072)
    floor (61992.5)     		tx = 61992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268276214599609 × 217)
    floor (0.268276214599609 × 131072)
    floor (35163.5)     		ty = 35163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61992 / 35163 ti = "17/61992/35163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61992/35163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61992 ÷ 217
    61992 ÷ 131072     		x = 0.47296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35163 ÷ 217
    35163 ÷ 131072     		y = 0.268272399902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16988837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268272399902344 × 2 - 1) × π
    0.463455200195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.45598745215997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16988837} λ = -0.16988837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45598745215997))-π/2
    2×atan(4.28871627756028)-π/2
    2×1.3417192933573-π/2
    2.68343858671459-1.57079632675     		φ = 1.11264226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16988837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.733887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11264226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.749706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61992 KachelY 35163 -0.16988837 1.11264226 -9.733887 63.749706
    Oben rechts KachelX + 1 61993 KachelY 35163 -0.16984044 1.11264226 -9.731140 63.749706
    Unten links KachelX 61992 KachelY + 1 35164 -0.16988837 1.11262106 -9.733887 63.748491
    Unten rechts KachelX + 1 61993 KachelY + 1 35164 -0.16984044 1.11262106 -9.731140 63.748491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11264226-1.11262106) × R
    2.12000000001655e-05 × 6371000     		dl = 135.065200001055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11264226-1.11262106) × R
    2.12000000001655e-05 × 6371000     		dr = 135.065200001055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16988837--0.16984044) × cos(1.11264226) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.442293298476598 × 6371000     		do = 135.059579478214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16988837--0.16984044) × cos(1.11262106) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.442312312031147 × 6371000     		du = 135.065385495829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11264226)-sin(1.11262106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442293298476598-0.442312312031147)×R²
    abs(-0.16984044--0.16988837)×1.90135545488634e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.90135545488634e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.90135545488634e-05×40589641000000     		ar = 18242.2412103677m²