Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6199 / 10057
↖ ↑ ↗
← S 37.874854°
W 43.791504°		 ← 1 928.61 m → S 37.874854°
W 43.769531°		 →
↑
1 928.31 m
↓
↑
1 928.31 m
↓
S 37.892195°
W 43.791504°		 ← 1 928.16 m →
3 718 523 m²		 S 37.892195°
W 43.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378387451171875 y=0.613861083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378387451171875 × 214)
    floor (0.378387451171875 × 16384)
    floor (6199.5)     		tx = 6199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613861083984375 × 214)
    floor (0.613861083984375 × 16384)
    floor (10057.5)     		ty = 10057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6199 / 10057 ti = "14/6199/10057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6199/10057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6199 ÷ 214
    6199 ÷ 16384     		x = 0.37835693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10057 ÷ 214
    10057 ÷ 16384     		y = 0.61383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.2432861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76430593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.2276611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.715218542331238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76430593} λ = -0.76430593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.715218542331238))-π/2
    2×atan(0.489085214293037)-π/2
    2×0.4548777156919-π/2
    0.909755431383799-1.57079632675     		φ = -0.66104090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76430593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.791504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66104090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.874854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6199 KachelY 10057 -0.76430593 -0.66104090 -43.791504 -37.874854
    Oben rechts KachelX + 1 6200 KachelY 10057 -0.76392243 -0.66104090 -43.769531 -37.874854
    Unten links KachelX 6199 KachelY + 1 10058 -0.76430593 -0.66134357 -43.791504 -37.892195
    Unten rechts KachelX + 1 6200 KachelY + 1 10058 -0.76392243 -0.66134357 -43.769531 -37.892195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66104090--0.66134357) × R
    0.000302669999999949 × 6371000     		dl = 1928.31056999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66104090--0.66134357) × R
    0.000302669999999949 × 6371000     		dr = 1928.31056999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76430593--0.76392243) × cos(-0.66104090) × R
    0.000383499999999981 × 0.789353610313877 × 6371000     		do = 1928.61070497718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76430593--0.76392243) × cos(-0.66134357) × R
    0.000383499999999981 × 0.789167753297283 × 6371000     		du = 1928.15660452446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66104090)-sin(-0.66134357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789353610313877-0.789167753297283)×R²
    abs(-0.76392243--0.76430593)×0.00018585701659446×R²
    0.000383499999999981×0.00018585701659446×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018585701659446×40589641000000     		ar = 3718522.61285791m²