Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61989 / 13029
↖ ↑ ↗
← N 72.859838°
E160.515747°		 ← 180.01 m → N 72.859838°
E160.521240°		 →
↑
179.98 m
↓
↑
179.98 m
↓
N 72.858219°
E160.515747°		 ← 180.02 m →
32 399 m²		 N 72.858219°
E160.521240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945884704589844 y=0.198814392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945884704589844 × 216)
    floor (0.945884704589844 × 65536)
    floor (61989.5)     		tx = 61989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198814392089844 × 216)
    floor (0.198814392089844 × 65536)
    floor (13029.5)     		ty = 13029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61989 / 13029 ti = "16/61989/13029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61989/13029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61989 ÷ 216
    61989 ÷ 65536     		x = 0.945877075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13029 ÷ 216
    13029 ÷ 65536     		y = 0.198806762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945877075195312 × 2 - 1) × π
    0.891754150390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80152829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198806762695312 × 2 - 1) × π
    0.602386474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89245292320058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80152829} λ = 2.80152829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89245292320058))-π/2
    2×atan(6.63562541416173)-π/2
    2×1.42122019525087-π/2
    2.84244039050173-1.57079632675     		φ = 1.27164406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80152829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.515747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27164406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.859838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61989 KachelY 13029 2.80152829 1.27164406 160.515747 72.859838
    Oben rechts KachelX + 1 61990 KachelY 13029 2.80162416 1.27164406 160.521240 72.859838
    Unten links KachelX 61989 KachelY + 1 13030 2.80152829 1.27161581 160.515747 72.858219
    Unten rechts KachelX + 1 61990 KachelY + 1 13030 2.80162416 1.27161581 160.521240 72.858219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27164406-1.27161581) × R
    2.8250000000174e-05 × 6371000     		dl = 179.980750001108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27164406-1.27161581) × R
    2.8250000000174e-05 × 6371000     		dr = 179.980750001108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80152829-2.80162416) × cos(1.27164406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294710230106437 × 6371000     		do = 180.005404242893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80152829-2.80162416) × cos(1.27161581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294737225312209 × 6371000     		du = 180.021892584428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27164406)-sin(1.27161581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294710230106437-0.294737225312209)×R²
    abs(2.80162416-2.80152829)×2.69952057720957e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.69952057720957e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.69952057720957e-05×40589641000000     		ar = 32398.9914541784m²