Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61987 / 12818
↖ ↑ ↗
← N 73.198142°
E160.504761°		 ← 176.56 m → N 73.198142°
E160.510254°		 →
↑
176.60 m
↓
↑
176.60 m
↓
N 73.196554°
E160.504761°		 ← 176.57 m →
31 182 m²		 N 73.196554°
E160.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945854187011719 y=0.195594787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945854187011719 × 216)
    floor (0.945854187011719 × 65536)
    floor (61987.5)     		tx = 61987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195594787597656 × 216)
    floor (0.195594787597656 × 65536)
    floor (12818.5)     		ty = 12818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61987 / 12818 ti = "16/61987/12818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61987/12818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61987 ÷ 216
    61987 ÷ 65536     		x = 0.945846557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12818 ÷ 216
    12818 ÷ 65536     		y = 0.195587158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945846557617188 × 2 - 1) × π
    0.891693115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80133654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195587158203125 × 2 - 1) × π
    0.60882568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91268229484024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80133654} λ = 2.80133654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91268229484024))-π/2
    2×atan(6.77122688874932)-π/2
    2×1.4241724523424-π/2
    2.8483449046848-1.57079632675     		φ = 1.27754858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80133654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.504761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27754858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.198142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61987 KachelY 12818 2.80133654 1.27754858 160.504761 73.198142
    Oben rechts KachelX + 1 61988 KachelY 12818 2.80143241 1.27754858 160.510254 73.198142
    Unten links KachelX 61987 KachelY + 1 12819 2.80133654 1.27752086 160.504761 73.196554
    Unten rechts KachelX + 1 61988 KachelY + 1 12819 2.80143241 1.27752086 160.510254 73.196554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27754858-1.27752086) × R
    2.77199999998423e-05 × 6371000     		dl = 176.604119998995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27754858-1.27752086) × R
    2.77199999998423e-05 × 6371000     		dr = 176.604119998995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80133654-2.80143241) × cos(1.27754858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.289062845018622 × 6371000     		do = 176.556050498776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80133654-2.80143241) × cos(1.27752086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.28908938154417 × 6371000     		du = 176.572258684039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27754858)-sin(1.27752086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289062845018622-0.28908938154417)×R²
    abs(2.80143241-2.80133654)×2.65365255487926e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.65365255487926e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.65365255487926e-05×40589641000000     		ar = 31181.9571470889m²