Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61986 / 77089
↖ ↑ ↗
← S 30.223475°
W  9.750366°		 ← 263.85 m → S 30.223475°
W  9.747620°		 →
↑
263.89 m
↓
↑
263.89 m
↓
S 30.225848°
W  9.750366°		 ← 263.85 m →
69 627 m²		 S 30.225848°
W  9.747620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472919464111328 y=0.588146209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472919464111328 × 217)
    floor (0.472919464111328 × 131072)
    floor (61986.5)     		tx = 61986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588146209716797 × 217)
    floor (0.588146209716797 × 131072)
    floor (77089.5)     		ty = 77089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61986 / 77089 ti = "17/61986/77089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61986/77089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61986 ÷ 217
    61986 ÷ 131072     		x = 0.472915649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77089 ÷ 217
    77089 ÷ 131072     		y = 0.588142395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472915649414062 × 2 - 1) × π
    -0.054168701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17017599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588142395019531 × 2 - 1) × π
    -0.176284790039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.553815001310509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17017599} λ = -0.17017599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553815001310509))-π/2
    2×atan(0.574752939295303)-π/2
    2×0.521648587315535-π/2
    1.04329717463107-1.57079632675     		φ = -0.52749915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17017599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.750366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52749915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.223475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61986 KachelY 77089 -0.17017599 -0.52749915 -9.750366 -30.223475
    Oben rechts KachelX + 1 61987 KachelY 77089 -0.17012806 -0.52749915 -9.747620 -30.223475
    Unten links KachelX 61986 KachelY + 1 77090 -0.17017599 -0.52754057 -9.750366 -30.225848
    Unten rechts KachelX + 1 61987 KachelY + 1 77090 -0.17012806 -0.52754057 -9.747620 -30.225848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52749915--0.52754057) × R
    4.14199999999587e-05 × 6371000     		dl = 263.886819999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52749915--0.52754057) × R
    4.14199999999587e-05 × 6371000     		dr = 263.886819999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17017599--0.17012806) × cos(-0.52749915) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.864068634148811 × 6371000     		do = 263.853752183017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17017599--0.17012806) × cos(-0.52754057) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.864047783656055 × 6371000     		du = 263.847385234222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52749915)-sin(-0.52754057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864068634148811-0.864047783656055)×R²
    abs(-0.17012806--0.17017599)×2.08504927565745e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.08504927565745e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.08504927565745e-05×40589641000000     		ar = 69626.6875417205m²