Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61986 / 34212
↖ ↑ ↗
← N 64.881602°
W  9.750366°		 ← 129.62 m → N 64.881602°
W  9.747620°		 →
↑
129.65 m
↓
↑
129.65 m
↓
N 64.880436°
W  9.750366°		 ← 129.63 m →
16 806 m²		 N 64.880436°
W  9.747620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472919464111328 y=0.261020660400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472919464111328 × 217)
    floor (0.472919464111328 × 131072)
    floor (61986.5)     		tx = 61986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261020660400391 × 217)
    floor (0.261020660400391 × 131072)
    floor (34212.5)     		ty = 34212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61986 / 34212 ti = "17/61986/34212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61986/34212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61986 ÷ 217
    61986 ÷ 131072     		x = 0.472915649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34212 ÷ 217
    34212 ÷ 131072     		y = 0.261016845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472915649414062 × 2 - 1) × π
    -0.054168701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17017599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261016845703125 × 2 - 1) × π
    0.47796630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50157544369864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17017599} λ = -0.17017599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50157544369864))-π/2
    2×atan(4.48875528389246)-π/2
    2×1.3515969547909-π/2
    2.70319390958181-1.57079632675     		φ = 1.13239758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17017599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.750366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13239758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.881602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61986 KachelY 34212 -0.17017599 1.13239758 -9.750366 64.881602
    Oben rechts KachelX + 1 61987 KachelY 34212 -0.17012806 1.13239758 -9.747620 64.881602
    Unten links KachelX 61986 KachelY + 1 34213 -0.17017599 1.13237723 -9.750366 64.880436
    Unten rechts KachelX + 1 61987 KachelY + 1 34213 -0.17012806 1.13237723 -9.747620 64.880436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13239758-1.13237723) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dl = 129.649850000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13239758-1.13237723) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dr = 129.649850000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17017599--0.17012806) × cos(1.13239758) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424490183127746 × 6371000     		do = 129.623184034965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17017599--0.17012806) × cos(1.13237723) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424508608592038 × 6371000     		du = 129.628810472144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13239758)-sin(1.13237723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424490183127746-0.424508608592038)×R²
    abs(-0.17012806--0.17017599)×1.84254642915382e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84254642915382e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84254642915382e-05×40589641000000     		ar = 16805.9911006169m²