Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61986 / 12766
↖ ↑ ↗
← N 73.280514°
E160.499268°		 ← 175.72 m → N 73.280514°
E160.504761°		 →
↑
175.71 m
↓
↑
175.71 m
↓
N 73.278934°
E160.499268°		 ← 175.73 m →
30 877 m²		 N 73.278934°
E160.504761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945838928222656 y=0.194801330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945838928222656 × 216)
    floor (0.945838928222656 × 65536)
    floor (61986.5)     		tx = 61986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194801330566406 × 216)
    floor (0.194801330566406 × 65536)
    floor (12766.5)     		ty = 12766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61986 / 12766 ti = "16/61986/12766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61986/12766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61986 ÷ 216
    61986 ÷ 65536     		x = 0.945831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12766 ÷ 216
    12766 ÷ 65536     		y = 0.194793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945831298828125 × 2 - 1) × π
    0.89166259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80124067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194793701171875 × 2 - 1) × π
    0.61041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91766773240073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80124067} λ = 2.80124067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91766773240073))-π/2
    2×atan(6.80506870564994)-π/2
    2×1.42489128775643-π/2
    2.84978257551285-1.57079632675     		φ = 1.27898625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80124067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.499268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27898625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.280514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61986 KachelY 12766 2.80124067 1.27898625 160.499268 73.280514
    Oben rechts KachelX + 1 61987 KachelY 12766 2.80133654 1.27898625 160.504761 73.280514
    Unten links KachelX 61986 KachelY + 1 12767 2.80124067 1.27895867 160.499268 73.278934
    Unten rechts KachelX + 1 61987 KachelY + 1 12767 2.80133654 1.27895867 160.504761 73.278934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27898625-1.27895867) × R
    2.7580000000027e-05 × 6371000     		dl = 175.712180000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27898625-1.27895867) × R
    2.7580000000027e-05 × 6371000     		dr = 175.712180000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80124067-2.80133654) × cos(1.27898625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287686250716947 × 6371000     		do = 175.715243535061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80124067-2.80133654) × cos(1.27895867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287712664655045 × 6371000     		du = 175.731376845409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27898625)-sin(1.27895867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287686250716947-0.287712664655045)×R²
    abs(2.80133654-2.80124067)×2.6413938097769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.6413938097769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.6413938097769e-05×40589641000000     		ar = 30876.7259125532m²