Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61985 / 39442
↖ ↑ ↗
← N 58.051725°
W  9.753113°		 ← 161.62 m → N 58.051725°
W  9.750366°		 →
↑
161.57 m
↓
↑
161.57 m
↓
N 58.050272°
W  9.753113°		 ← 161.62 m →
26 113 m²		 N 58.050272°
W  9.750366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472911834716797 y=0.300922393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472911834716797 × 217)
    floor (0.472911834716797 × 131072)
    floor (61985.5)     		tx = 61985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300922393798828 × 217)
    floor (0.300922393798828 × 131072)
    floor (39442.5)     		ty = 39442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61985 / 39442 ti = "17/61985/39442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61985/39442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61985 ÷ 217
    61985 ÷ 131072     		x = 0.472908020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39442 ÷ 217
    39442 ÷ 131072     		y = 0.300918579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472908020019531 × 2 - 1) × π
    -0.0541839599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17022393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300918579101562 × 2 - 1) × π
    0.398162841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25086545868575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17022393} λ = -0.17022393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25086545868575))-π/2
    2×atan(3.49336501263392)-π/2
    2×1.29199503488734-π/2
    2.58399006977467-1.57079632675     		φ = 1.01319374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17022393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.753113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01319374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.051725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61985 KachelY 39442 -0.17022393 1.01319374 -9.753113 58.051725
    Oben rechts KachelX + 1 61986 KachelY 39442 -0.17017599 1.01319374 -9.750366 58.051725
    Unten links KachelX 61985 KachelY + 1 39443 -0.17022393 1.01316838 -9.753113 58.050272
    Unten rechts KachelX + 1 61986 KachelY + 1 39443 -0.17017599 1.01316838 -9.750366 58.050272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01319374-1.01316838) × R
    2.53599999999743e-05 × 6371000     		dl = 161.568559999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01319374-1.01316838) × R
    2.53599999999743e-05 × 6371000     		dr = 161.568559999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17022393--0.17017599) × cos(1.01319374) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52915345275589 × 6371000     		do = 161.61708488151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17022393--0.17017599) × cos(1.01316838) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529174971208838 × 6371000     		du = 161.623657170926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01319374)-sin(1.01316838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52915345275589-0.529174971208838)×R²
    abs(-0.17017599--0.17022393)×2.1518452947733e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1518452947733e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1518452947733e-05×40589641000000     		ar = 26112.7706147613m²