Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61985 / 12767
↖ ↑ ↗
← N 73.278934°
E160.493774°		 ← 175.75 m → N 73.278934°
E160.499268°		 →
↑
175.78 m
↓
↑
175.78 m
↓
N 73.277353°
E160.493774°		 ← 175.77 m →
30 894 m²		 N 73.277353°
E160.499268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945823669433594 y=0.194816589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945823669433594 × 216)
    floor (0.945823669433594 × 65536)
    floor (61985.5)     		tx = 61985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194816589355469 × 216)
    floor (0.194816589355469 × 65536)
    floor (12767.5)     		ty = 12767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61985 / 12767 ti = "16/61985/12767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61985/12767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61985 ÷ 216
    61985 ÷ 65536     		x = 0.945816040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12767 ÷ 216
    12767 ÷ 65536     		y = 0.194808959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945816040039062 × 2 - 1) × π
    0.891632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80114479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194808959960938 × 2 - 1) × π
    0.610382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91757185860149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80114479} λ = 2.80114479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91757185860149))-π/2
    2×atan(6.80441630913341)-π/2
    2×1.42487749633629-π/2
    2.84975499267257-1.57079632675     		φ = 1.27895867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80114479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.493774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27895867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.278934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61985 KachelY 12767 2.80114479 1.27895867 160.493774 73.278934
    Oben rechts KachelX + 1 61986 KachelY 12767 2.80124067 1.27895867 160.499268 73.278934
    Unten links KachelX 61985 KachelY + 1 12768 2.80114479 1.27893108 160.493774 73.277353
    Unten rechts KachelX + 1 61986 KachelY + 1 12768 2.80124067 1.27893108 160.499268 73.277353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27895867-1.27893108) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dl = 175.775889999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27895867-1.27893108) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dr = 175.775889999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80114479-2.80124067) × cos(1.27895867) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.287712664655045 × 6371000     		do = 175.749707019163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80114479-2.80124067) × cos(1.27893108) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.287739087951381 × 6371000     		du = 175.765847728836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27895867)-sin(1.27893108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287712664655045-0.287739087951381)×R²
    abs(2.80124067-2.80114479)×2.64232963355648e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.64232963355648e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.64232963355648e-05×40589641000000     		ar = 30893.97974424m²