Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61984 / 12833
↖ ↑ ↗
← N 73.174307°
E160.488281°		 ← 176.80 m → N 73.174307°
E160.493774°		 →
↑
176.80 m
↓
↑
176.80 m
↓
N 73.172717°
E160.488281°		 ← 176.82 m →
31 259 m²		 N 73.172717°
E160.493774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945808410644531 y=0.195823669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945808410644531 × 216)
    floor (0.945808410644531 × 65536)
    floor (61984.5)     		tx = 61984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195823669433594 × 216)
    floor (0.195823669433594 × 65536)
    floor (12833.5)     		ty = 12833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61984 / 12833 ti = "16/61984/12833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61984/12833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61984 ÷ 216
    61984 ÷ 65536     		x = 0.94580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12833 ÷ 216
    12833 ÷ 65536     		y = 0.195816040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94580078125 × 2 - 1) × π
    0.8916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80104892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195816040039062 × 2 - 1) × π
    0.608367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91124418785164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80104892} λ = 2.80104892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91124418785164))-π/2
    2×atan(6.76149613864613)-π/2
    2×1.4239644575563-π/2
    2.8479289151126-1.57079632675     		φ = 1.27713259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80104892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27713259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.174307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61984 KachelY 12833 2.80104892 1.27713259 160.488281 73.174307
    Oben rechts KachelX + 1 61985 KachelY 12833 2.80114479 1.27713259 160.493774 73.174307
    Unten links KachelX 61984 KachelY + 1 12834 2.80104892 1.27710484 160.488281 73.172717
    Unten rechts KachelX + 1 61985 KachelY + 1 12834 2.80114479 1.27710484 160.493774 73.172717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27713259-1.27710484) × R
    2.7749999999882e-05 × 6371000     		dl = 176.795249999248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27713259-1.27710484) × R
    2.7749999999882e-05 × 6371000     		dr = 176.795249999248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80104892-2.80114479) × cos(1.27713259) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.289461051434383 × 6371000     		do = 176.799270107458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80104892-2.80114479) × cos(1.27710484) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.289487613339682 × 6371000     		du = 176.815493794363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27713259)-sin(1.27710484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289461051434383-0.289487613339682)×R²
    abs(2.80114479-2.80104892)×2.65619052989274e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.65619052989274e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.65619052989274e-05×40589641000000     		ar = 31258.7052957266m²