Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61984 / 12831
↖ ↑ ↗
← N 73.177487°
E160.488281°		 ← 176.77 m → N 73.177487°
E160.493774°		 →
↑
176.80 m
↓
↑
176.80 m
↓
N 73.175897°
E160.488281°		 ← 176.78 m →
31 253 m²		 N 73.175897°
E160.493774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945808410644531 y=0.195793151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945808410644531 × 216)
    floor (0.945808410644531 × 65536)
    floor (61984.5)     		tx = 61984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195793151855469 × 216)
    floor (0.195793151855469 × 65536)
    floor (12831.5)     		ty = 12831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61984 / 12831 ti = "16/61984/12831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61984/12831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61984 ÷ 216
    61984 ÷ 65536     		x = 0.94580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12831 ÷ 216
    12831 ÷ 65536     		y = 0.195785522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94580078125 × 2 - 1) × π
    0.8916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80104892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195785522460938 × 2 - 1) × π
    0.608428955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91143593545012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80104892} λ = 2.80104892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91143593545012))-π/2
    2×atan(6.76279276360123)-π/2
    2×1.42399220674057-π/2
    2.84798441348114-1.57079632675     		φ = 1.27718809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80104892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27718809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.177487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61984 KachelY 12831 2.80104892 1.27718809 160.488281 73.177487
    Oben rechts KachelX + 1 61985 KachelY 12831 2.80114479 1.27718809 160.493774 73.177487
    Unten links KachelX 61984 KachelY + 1 12832 2.80104892 1.27716034 160.488281 73.175897
    Unten rechts KachelX + 1 61985 KachelY + 1 12832 2.80114479 1.27716034 160.493774 73.175897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27718809-1.27716034) × R
    2.77500000001041e-05 × 6371000     		dl = 176.795250000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27718809-1.27716034) × R
    2.77500000001041e-05 × 6371000     		dr = 176.795250000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80104892-2.80114479) × cos(1.27718809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.289407926955096 × 6371000     		do = 176.766822325222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80104892-2.80114479) × cos(1.27716034) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.289434489306181 × 6371000     		du = 176.783046284407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27718809)-sin(1.27716034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289407926955096-0.289434489306181)×R²
    abs(2.80114479-2.80104892)×2.65623510848911e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.65623510848911e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.65623510848911e-05×40589641000000     		ar = 31252.9687060933m²