Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61983 / 12903
↖ ↑ ↗
← N 73.062645°
E160.482788°		 ← 177.96 m → N 73.062645°
E160.488281°		 →
↑
178.01 m
↓
↑
178.01 m
↓
N 73.061044°
E160.482788°		 ← 177.97 m →
31 679 m²		 N 73.061044°
E160.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945793151855469 y=0.196891784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945793151855469 × 216)
    floor (0.945793151855469 × 65536)
    floor (61983.5)     		tx = 61983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196891784667969 × 216)
    floor (0.196891784667969 × 65536)
    floor (12903.5)     		ty = 12903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61983 / 12903 ti = "16/61983/12903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61983/12903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61983 ÷ 216
    61983 ÷ 65536     		x = 0.945785522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12903 ÷ 216
    12903 ÷ 65536     		y = 0.196884155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945785522460938 × 2 - 1) × π
    0.891571044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80095304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196884155273438 × 2 - 1) × π
    0.606231689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90453302190483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80095304} λ = 2.80095304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90453302190483))-π/2
    2×atan(6.71627054399201)-π/2
    2×1.42299002111863-π/2
    2.84598004223726-1.57079632675     		φ = 1.27518372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80095304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.482788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27518372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.062645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61983 KachelY 12903 2.80095304 1.27518372 160.482788 73.062645
    Oben rechts KachelX + 1 61984 KachelY 12903 2.80104892 1.27518372 160.488281 73.062645
    Unten links KachelX 61983 KachelY + 1 12904 2.80095304 1.27515578 160.482788 73.061044
    Unten rechts KachelX + 1 61984 KachelY + 1 12904 2.80104892 1.27515578 160.488281 73.061044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27518372-1.27515578) × R
    2.79400000000596e-05 × 6371000     		dl = 178.00574000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27518372-1.27515578) × R
    2.79400000000596e-05 × 6371000     		dr = 178.00574000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80095304-2.80104892) × cos(1.27518372) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.291325939025284 × 6371000     		do = 177.956881015868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80095304-2.80104892) × cos(1.27515578) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.291352666982039 × 6371000     		du = 177.973207827809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27518372)-sin(1.27515578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291325939025284-0.291352666982039)×R²
    abs(2.80104892-2.80095304)×2.67279567549572e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.67279567549572e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.67279567549572e-05×40589641000000     		ar = 31678.7994282638m²