Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61983 / 12829
↖ ↑ ↗
← N 73.180666°
E160.482788°		 ← 176.75 m → N 73.180666°
E160.488281°		 →
↑
176.73 m
↓
↑
176.73 m
↓
N 73.179077°
E160.482788°		 ← 176.77 m →
31 239 m²		 N 73.179077°
E160.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945793151855469 y=0.195762634277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945793151855469 × 216)
    floor (0.945793151855469 × 65536)
    floor (61983.5)     		tx = 61983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195762634277344 × 216)
    floor (0.195762634277344 × 65536)
    floor (12829.5)     		ty = 12829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61983 / 12829 ti = "16/61983/12829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61983/12829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61983 ÷ 216
    61983 ÷ 65536     		x = 0.945785522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12829 ÷ 216
    12829 ÷ 65536     		y = 0.195755004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945785522460938 × 2 - 1) × π
    0.891571044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80095304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195755004882812 × 2 - 1) × π
    0.608489990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.9116276830486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80095304} λ = 2.80095304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9116276830486))-π/2
    2×atan(6.7640896372049)-π/2
    2×1.42401995083217-π/2
    2.84803990166433-1.57079632675     		φ = 1.27724357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80095304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.482788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27724357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.180666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61983 KachelY 12829 2.80095304 1.27724357 160.482788 73.180666
    Oben rechts KachelX + 1 61984 KachelY 12829 2.80104892 1.27724357 160.488281 73.180666
    Unten links KachelX 61983 KachelY + 1 12830 2.80095304 1.27721583 160.482788 73.179077
    Unten rechts KachelX + 1 61984 KachelY + 1 12830 2.80104892 1.27721583 160.488281 73.179077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27724357-1.27721583) × R
    2.77399999999428e-05 × 6371000     		dl = 176.731539999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27724357-1.27721583) × R
    2.77399999999428e-05 × 6371000     		dr = 176.731539999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80095304-2.80104892) × cos(1.27724357) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.289354820728798 × 6371000     		do = 176.752820487205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80095304-2.80104892) × cos(1.27721583) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.289381373953288 × 6371000     		du = 176.769040563683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27724357)-sin(1.27721583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289354820728798-0.289381373953288)×R²
    abs(2.80104892-2.80095304)×2.65532244891897e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.65532244891897e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.65532244891897e-05×40589641000000     		ar = 31239.2314656413m²