Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61982 / 39330
↖ ↑ ↗
← N 58.214132°
W  9.761352°		 ← 160.88 m → N 58.214132°
W  9.758606°		 →
↑
160.87 m
↓
↑
160.87 m
↓
N 58.212685°
W  9.761352°		 ← 160.89 m →
25 881 m²		 N 58.212685°
W  9.758606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472888946533203 y=0.300067901611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472888946533203 × 217)
    floor (0.472888946533203 × 131072)
    floor (61982.5)     		tx = 61982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300067901611328 × 217)
    floor (0.300067901611328 × 131072)
    floor (39330.5)     		ty = 39330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61982 / 39330 ti = "17/61982/39330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61982/39330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61982 ÷ 217
    61982 ÷ 131072     		x = 0.472885131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39330 ÷ 217
    39330 ÷ 131072     		y = 0.300064086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472885131835938 × 2 - 1) × π
    -0.054229736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17036774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300064086914062 × 2 - 1) × π
    0.399871826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25623439144319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17036774} λ = -0.17036774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25623439144319))-π/2
    2×atan(3.5121710936016)-π/2
    2×1.29341229688219-π/2
    2.58682459376439-1.57079632675     		φ = 1.01602827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17036774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.761352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01602827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.214132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61982 KachelY 39330 -0.17036774 1.01602827 -9.761352 58.214132
    Oben rechts KachelX + 1 61983 KachelY 39330 -0.17031980 1.01602827 -9.758606 58.214132
    Unten links KachelX 61982 KachelY + 1 39331 -0.17036774 1.01600302 -9.761352 58.212685
    Unten rechts KachelX + 1 61983 KachelY + 1 39331 -0.17031980 1.01600302 -9.758606 58.212685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01602827-1.01600302) × R
    2.52499999999767e-05 × 6371000     		dl = 160.867749999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01602827-1.01600302) × R
    2.52499999999767e-05 × 6371000     		dr = 160.867749999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17036774--0.17031980) × cos(1.01602827) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526746157398778 × 6371000     		do = 160.881834915666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17036774--0.17031980) × cos(1.01600302) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526767620302477 × 6371000     		du = 160.888390238911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01602827)-sin(1.01600302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526746157398778-0.526767620302477)×R²
    abs(-0.17031980--0.17036774)×2.14629036986436e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14629036986436e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14629036986436e-05×40589641000000     		ar = 25881.226070037m²