Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61982 / 12902
↖ ↑ ↗
← N 73.064245°
E160.477295°		 ← 177.92 m → N 73.064245°
E160.482788°		 →
↑
177.88 m
↓
↑
177.88 m
↓
N 73.062645°
E160.477295°		 ← 177.94 m →
31 650 m²		 N 73.062645°
E160.482788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945777893066406 y=0.196876525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945777893066406 × 216)
    floor (0.945777893066406 × 65536)
    floor (61982.5)     		tx = 61982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196876525878906 × 216)
    floor (0.196876525878906 × 65536)
    floor (12902.5)     		ty = 12902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61982 / 12902 ti = "16/61982/12902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61982/12902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61982 ÷ 216
    61982 ÷ 65536     		x = 0.945770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12902 ÷ 216
    12902 ÷ 65536     		y = 0.196868896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945770263671875 × 2 - 1) × π
    0.89154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80085717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196868896484375 × 2 - 1) × π
    0.60626220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90462889570407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80085717} λ = 2.80085717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90462889570407))-π/2
    2×atan(6.71691448923403)-π/2
    2×1.42300398574074-π/2
    2.84600797148147-1.57079632675     		φ = 1.27521164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80085717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.477295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27521164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.064245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61982 KachelY 12902 2.80085717 1.27521164 160.477295 73.064245
    Oben rechts KachelX + 1 61983 KachelY 12902 2.80095304 1.27521164 160.482788 73.064245
    Unten links KachelX 61982 KachelY + 1 12903 2.80085717 1.27518372 160.477295 73.062645
    Unten rechts KachelX + 1 61983 KachelY + 1 12903 2.80095304 1.27518372 160.482788 73.062645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27521164-1.27518372) × R
    2.79199999999591e-05 × 6371000     		dl = 177.878319999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27521164-1.27518372) × R
    2.79199999999591e-05 × 6371000     		dr = 177.878319999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80085717-2.80095304) × cos(1.27521164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291299229973748 × 6371000     		do = 177.922007078379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80085717-2.80095304) × cos(1.27518372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291325939025284 × 6371000     		du = 177.938320640406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27521164)-sin(1.27518372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291299229973748-0.291325939025284)×R²
    abs(2.80095304-2.80085717)×2.6709051536733e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.6709051536733e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.6709051536733e-05×40589641000000     		ar = 31649.9186265775m²