Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61980 / 39452
↖ ↑ ↗
← N 58.037189°
W  9.766846°		 ← 161.68 m → N 58.037189°
W  9.764099°		 →
↑
161.70 m
↓
↑
161.70 m
↓
N 58.035734°
W  9.766846°		 ← 161.69 m →
26 144 m²		 N 58.035734°
W  9.764099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472873687744141 y=0.300998687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472873687744141 × 217)
    floor (0.472873687744141 × 131072)
    floor (61980.5)     		tx = 61980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300998687744141 × 217)
    floor (0.300998687744141 × 131072)
    floor (39452.5)     		ty = 39452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61980 / 39452 ti = "17/61980/39452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61980/39452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61980 ÷ 217
    61980 ÷ 131072     		x = 0.472869873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39452 ÷ 217
    39452 ÷ 131072     		y = 0.300994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472869873046875 × 2 - 1) × π
    -0.05426025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17046362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300994873046875 × 2 - 1) × π
    0.39801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25038608968954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17046362} λ = -0.17046362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25038608968954))-π/2
    2×atan(3.49169080306859)-π/2
    2×1.29186817921159-π/2
    2.58373635842317-1.57079632675     		φ = 1.01294003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17046362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.766846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01294003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.037189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61980 KachelY 39452 -0.17046362 1.01294003 -9.766846 58.037189
    Oben rechts KachelX + 1 61981 KachelY 39452 -0.17041568 1.01294003 -9.764099 58.037189
    Unten links KachelX 61980 KachelY + 1 39453 -0.17046362 1.01291465 -9.766846 58.035734
    Unten rechts KachelX + 1 61981 KachelY + 1 39453 -0.17041568 1.01291465 -9.764099 58.035734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01294003-1.01291465) × R
    2.53800000000748e-05 × 6371000     		dl = 161.695980000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01294003-1.01291465) × R
    2.53800000000748e-05 × 6371000     		dr = 161.695980000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17046362--0.17041568) × cos(1.01294003) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529368715292052 × 6371000     		do = 161.682831600912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17046362--0.17041568) × cos(1.01291465) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529390247307189 × 6371000     		du = 161.689408032569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01294003)-sin(1.01291465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529368715292052-0.529390247307189)×R²
    abs(-0.17041568--0.17046362)×2.15320151362164e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15320151362164e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15320151362164e-05×40589641000000     		ar = 26143.9955976097m²