Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61980 / 12836
↖ ↑ ↗
← N 73.169536°
E160.466308°		 ← 176.87 m → N 73.169536°
E160.471802°		 →
↑
176.86 m
↓
↑
176.86 m
↓
N 73.167946°
E160.466308°		 ← 176.88 m →
31 282 m²		 N 73.167946°
E160.471802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945747375488281 y=0.195869445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945747375488281 × 216)
    floor (0.945747375488281 × 65536)
    floor (61980.5)     		tx = 61980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195869445800781 × 216)
    floor (0.195869445800781 × 65536)
    floor (12836.5)     		ty = 12836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61980 / 12836 ti = "16/61980/12836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61980/12836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61980 ÷ 216
    61980 ÷ 65536     		x = 0.94573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12836 ÷ 216
    12836 ÷ 65536     		y = 0.19586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94573974609375 × 2 - 1) × π
    0.8914794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80066542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19586181640625 × 2 - 1) × π
    0.6082763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91095656645392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80066542} λ = 2.80066542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91095656645392))-π/2
    2×atan(6.75955166732523)-π/2
    2×1.42392282422928-π/2
    2.84784564845856-1.57079632675     		φ = 1.27704932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80066542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.466308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27704932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.169536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61980 KachelY 12836 2.80066542 1.27704932 160.466308 73.169536
    Oben rechts KachelX + 1 61981 KachelY 12836 2.80076130 1.27704932 160.471802 73.169536
    Unten links KachelX 61980 KachelY + 1 12837 2.80066542 1.27702156 160.466308 73.167946
    Unten rechts KachelX + 1 61981 KachelY + 1 12837 2.80076130 1.27702156 160.471802 73.167946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27704932-1.27702156) × R
    2.77600000000433e-05 × 6371000     		dl = 176.858960000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27704932-1.27702156) × R
    2.77600000000433e-05 × 6371000     		dr = 176.858960000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80066542-2.80076130) × cos(1.27704932) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.289540755624803 × 6371000     		do = 176.866399093613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80066542-2.80076130) × cos(1.27702156) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.289567326432685 × 6371000     		du = 176.882629910933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27704932)-sin(1.27702156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289540755624803-0.289567326432685)×R²
    abs(2.80076130-2.80066542)×2.65708078828197e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.65708078828197e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.65708078828197e-05×40589641000000     		ar = 31281.84268732m²