Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6198 / 10346
↖ ↑ ↗
← S 42.714732°
W 43.813476°		 ← 1 795.13 m → S 42.714732°
W 43.791504°		 →
↑
1 794.90 m
↓
↑
1 794.90 m
↓
S 42.730874°
W 43.813476°		 ← 1 794.66 m →
3 221 660 m²		 S 42.730874°
W 43.791504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378326416015625 y=0.631500244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378326416015625 × 214)
    floor (0.378326416015625 × 16384)
    floor (6198.5)     		tx = 6198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631500244140625 × 214)
    floor (0.631500244140625 × 16384)
    floor (10346.5)     		ty = 10346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6198 / 10346 ti = "14/6198/10346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6198/10346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6198 ÷ 214
    6198 ÷ 16384     		x = 0.3782958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10346 ÷ 214
    10346 ÷ 16384     		y = 0.6314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3782958984375 × 2 - 1) × π
    -0.243408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76468942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.262939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.826048654252808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76468942} λ = -0.76468942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826048654252808))-π/2
    2×atan(0.437775676350362)-π/2
    2×0.412641805534758-π/2
    0.825283611069516-1.57079632675     		φ = -0.74551272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76468942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.813476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74551272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.714732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6198 KachelY 10346 -0.76468942 -0.74551272 -43.813476 -42.714732
    Oben rechts KachelX + 1 6199 KachelY 10346 -0.76430593 -0.74551272 -43.791504 -42.714732
    Unten links KachelX 6198 KachelY + 1 10347 -0.76468942 -0.74579445 -43.813476 -42.730874
    Unten rechts KachelX + 1 6199 KachelY + 1 10347 -0.76430593 -0.74579445 -43.791504 -42.730874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74551272--0.74579445) × R
    0.00028172999999998 × 6371000     		dl = 1794.90182999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74551272--0.74579445) × R
    0.00028172999999998 × 6371000     		dr = 1794.90182999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76468942--0.76430593) × cos(-0.74551272) × R
    0.000383489999999931 × 0.734740196069302 × 6371000     		do = 1795.12811384369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76468942--0.76430593) × cos(-0.74579445) × R
    0.000383489999999931 × 0.734549055757535 × 6371000     		du = 1794.66111700702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74551272)-sin(-0.74579445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734740196069302-0.734549055757535)×R²
    abs(-0.76430593--0.76468942)×0.000191140311766591×R²
    0.000383489999999931×0.000191140311766591×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191140311766591×40589641000000     		ar = 3221659.65119338m²