Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61979 / 12826
↖ ↑ ↗
← N 73.185434°
E160.460815°		 ← 176.69 m → N 73.185434°
E160.466308°		 →
↑
176.73 m
↓
↑
176.73 m
↓
N 73.183845°
E160.460815°		 ← 176.70 m →
31 227 m²		 N 73.183845°
E160.466308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945732116699219 y=0.195716857910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945732116699219 × 216)
    floor (0.945732116699219 × 65536)
    floor (61979.5)     		tx = 61979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195716857910156 × 216)
    floor (0.195716857910156 × 65536)
    floor (12826.5)     		ty = 12826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61979 / 12826 ti = "16/61979/12826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61979/12826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61979 ÷ 216
    61979 ÷ 65536     		x = 0.945724487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12826 ÷ 216
    12826 ÷ 65536     		y = 0.195709228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945724487304688 × 2 - 1) × π
    0.891448974609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80056955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195709228515625 × 2 - 1) × π
    0.60858154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91191530444632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80056955} λ = 2.80056955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91191530444632))-π/2
    2×atan(6.76603541393075)-π/2
    2×1.42406155742266-π/2
    2.84812311484532-1.57079632675     		φ = 1.27732679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80056955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.460815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27732679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.185434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61979 KachelY 12826 2.80056955 1.27732679 160.460815 73.185434
    Oben rechts KachelX + 1 61980 KachelY 12826 2.80066542 1.27732679 160.466308 73.185434
    Unten links KachelX 61979 KachelY + 1 12827 2.80056955 1.27729905 160.460815 73.183845
    Unten rechts KachelX + 1 61980 KachelY + 1 12827 2.80066542 1.27729905 160.466308 73.183845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27732679-1.27729905) × R
    2.77399999999428e-05 × 6371000     		dl = 176.731539999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27732679-1.27729905) × R
    2.77399999999428e-05 × 6371000     		dr = 176.731539999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80056955-2.80066542) × cos(1.27732679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.289275159719448 × 6371000     		do = 176.685729721431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80056955-2.80066542) × cos(1.27729905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.289301713611858 × 6371000     		du = 176.701948514162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27732679)-sin(1.27729905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289275159719448-0.289301713611858)×R²
    abs(2.80066542-2.80056955)×2.65538924101305e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.65538924101305e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.65538924101305e-05×40589641000000     		ar = 31227.3742978633m²