Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61978 / 34250
↖ ↑ ↗
← N 64.837261°
W  9.772339°		 ← 129.86 m → N 64.837261°
W  9.769592°		 →
↑
129.84 m
↓
↑
129.84 m
↓
N 64.836094°
W  9.772339°		 ← 129.87 m →
16 862 m²		 N 64.836094°
W  9.769592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472858428955078 y=0.261310577392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472858428955078 × 217)
    floor (0.472858428955078 × 131072)
    floor (61978.5)     		tx = 61978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261310577392578 × 217)
    floor (0.261310577392578 × 131072)
    floor (34250.5)     		ty = 34250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61978 / 34250 ti = "17/61978/34250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61978/34250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61978 ÷ 217
    61978 ÷ 131072     		x = 0.472854614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34250 ÷ 217
    34250 ÷ 131072     		y = 0.261306762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472854614257812 × 2 - 1) × π
    -0.054290771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17055949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261306762695312 × 2 - 1) × π
    0.477386474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49975384151308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17055949} λ = -0.17055949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49975384151308))-π/2
    2×atan(4.48058600030825)-π/2
    2×1.35121000969522-π/2
    2.70242001939045-1.57079632675     		φ = 1.13162369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17055949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.772339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13162369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.837261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61978 KachelY 34250 -0.17055949 1.13162369 -9.772339 64.837261
    Oben rechts KachelX + 1 61979 KachelY 34250 -0.17051155 1.13162369 -9.769592 64.837261
    Unten links KachelX 61978 KachelY + 1 34251 -0.17055949 1.13160331 -9.772339 64.836094
    Unten rechts KachelX + 1 61979 KachelY + 1 34251 -0.17051155 1.13160331 -9.769592 64.836094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13162369-1.13160331) × R
    2.0380000000042e-05 × 6371000     		dl = 129.840980000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13162369-1.13160331) × R
    2.0380000000042e-05 × 6371000     		dr = 129.840980000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17055949--0.17051155) × cos(1.13162369) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425190761131361 × 6371000     		do = 129.864202859699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17055949--0.17051155) × cos(1.13160331) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425209207057692 × 6371000     		du = 129.869836720399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13162369)-sin(1.13160331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425190761131361-0.425209207057692)×R²
    abs(-0.17051155--0.17055949)×1.84459263304348e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84459263304348e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84459263304348e-05×40589641000000     		ar = 16862.0611197841m²