Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61977 / 28183
↖ ↑ ↗
← N 71.053556°
W  9.775086°		 ← 99.17 m → N 71.053556°
W  9.772339°		 →
↑
99.13 m
↓
↑
99.13 m
↓
N 71.052665°
W  9.775086°		 ← 99.17 m →
9 831 m²		 N 71.052665°
W  9.772339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472850799560547 y=0.215023040771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472850799560547 × 217)
    floor (0.472850799560547 × 131072)
    floor (61977.5)     		tx = 61977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215023040771484 × 217)
    floor (0.215023040771484 × 131072)
    floor (28183.5)     		ty = 28183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61977 / 28183 ti = "17/61977/28183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61977/28183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61977 ÷ 217
    61977 ÷ 131072     		x = 0.472846984863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28183 ÷ 217
    28183 ÷ 131072     		y = 0.215019226074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472846984863281 × 2 - 1) × π
    -0.0543060302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17060743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215019226074219 × 2 - 1) × π
    0.569961547851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.79058701150796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17060743} λ = -0.17060743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79058701150796))-π/2
    2×atan(5.99296937603948)-π/2
    2×1.40545741563304-π/2
    2.81091483126609-1.57079632675     		φ = 1.24011850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17060743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.775086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24011850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.053556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61977 KachelY 28183 -0.17060743 1.24011850 -9.775086 71.053556
    Oben rechts KachelX + 1 61978 KachelY 28183 -0.17055949 1.24011850 -9.772339 71.053556
    Unten links KachelX 61977 KachelY + 1 28184 -0.17060743 1.24010294 -9.775086 71.052665
    Unten rechts KachelX + 1 61978 KachelY + 1 28184 -0.17055949 1.24010294 -9.772339 71.052665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24011850-1.24010294) × R
    1.55599999998035e-05 × 6371000     		dl = 99.1327599987482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24011850-1.24010294) × R
    1.55599999998035e-05 × 6371000     		dr = 99.1327599987482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17060743--0.17055949) × cos(1.24011850) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.324684206754669 × 6371000     		do = 99.16691411435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17060743--0.17055949) × cos(1.24010294) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.324698923713169 × 6371000     		du = 99.1714090522907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24011850)-sin(1.24010294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324684206754669-0.324698923713169)×R²
    abs(-0.17055949--0.17060743)×1.4716958500971e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.4716958500971e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.4716958500971e-05×40589641000000     		ar = 9830.91269472776m²