Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61976 / 34253
↖ ↑ ↗
← N 64.833758°
W  9.777832°		 ← 129.85 m → N 64.833758°
W  9.775086°		 →
↑
129.84 m
↓
↑
129.84 m
↓
N 64.832590°
W  9.777832°		 ← 129.86 m →
16 861 m²		 N 64.832590°
W  9.775086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472843170166016 y=0.261333465576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472843170166016 × 217)
    floor (0.472843170166016 × 131072)
    floor (61976.5)     		tx = 61976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261333465576172 × 217)
    floor (0.261333465576172 × 131072)
    floor (34253.5)     		ty = 34253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61976 / 34253 ti = "17/61976/34253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61976/34253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61976 ÷ 217
    61976 ÷ 131072     		x = 0.47283935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34253 ÷ 217
    34253 ÷ 131072     		y = 0.261329650878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47283935546875 × 2 - 1) × π
    -0.0543212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17065536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261329650878906 × 2 - 1) × π
    0.477340698242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.49961003081422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17065536} λ = -0.17065536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49961003081422))-π/2
    2×atan(4.47994169043467)-π/2
    2×1.35117943421529-π/2
    2.70235886843059-1.57079632675     		φ = 1.13156254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17065536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.777832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13156254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.833758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61976 KachelY 34253 -0.17065536 1.13156254 -9.777832 64.833758
    Oben rechts KachelX + 1 61977 KachelY 34253 -0.17060743 1.13156254 -9.775086 64.833758
    Unten links KachelX 61976 KachelY + 1 34254 -0.17065536 1.13154216 -9.777832 64.832590
    Unten rechts KachelX + 1 61977 KachelY + 1 34254 -0.17060743 1.13154216 -9.775086 64.832590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13156254-1.13154216) × R
    2.0380000000042e-05 × 6371000     		dl = 129.840980000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13156254-1.13154216) × R
    2.0380000000042e-05 × 6371000     		dr = 129.840980000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17065536--0.17060743) × cos(1.13156254) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.425246107431298 × 6371000     		do = 129.854014614823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17065536--0.17060743) × cos(1.13154216) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.425264552827694 × 6371000     		du = 129.859647138511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13156254)-sin(1.13154216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425246107431298-0.425264552827694)×R²
    abs(-0.17060743--0.17065536)×1.84453963959497e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84453963959497e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84453963959497e-05×40589641000000     		ar = 16860.7381812531m²