Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61974 / 74515
↖ ↑ ↗
← S 23.933544°
W  9.783325°		 ← 279.16 m → S 23.933544°
W  9.780579°		 →
↑
279.18 m
↓
↑
279.18 m
↓
S 23.936055°
W  9.783325°		 ← 279.16 m →
77 936 m²		 S 23.936055°
W  9.780579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472827911376953 y=0.568508148193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472827911376953 × 217)
    floor (0.472827911376953 × 131072)
    floor (61974.5)     		tx = 61974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568508148193359 × 217)
    floor (0.568508148193359 × 131072)
    floor (74515.5)     		ty = 74515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61974 / 74515 ti = "17/61974/74515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61974/74515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61974 ÷ 217
    61974 ÷ 131072     		x = 0.472824096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74515 ÷ 217
    74515 ÷ 131072     		y = 0.568504333496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472824096679688 × 2 - 1) × π
    -0.054351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17075124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.568504333496094 × 2 - 1) × π
    -0.137008666992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.430425421688484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17075124} λ = -0.17075124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.430425421688484))-π/2
    2×atan(0.650232412903262)-π/2
    2×0.576538586652166-π/2
    1.15307717330433-1.57079632675     		φ = -0.41771915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17075124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.783325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41771915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.933544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61974 KachelY 74515 -0.17075124 -0.41771915 -9.783325 -23.933544
    Oben rechts KachelX + 1 61975 KachelY 74515 -0.17070330 -0.41771915 -9.780579 -23.933544
    Unten links KachelX 61974 KachelY + 1 74516 -0.17075124 -0.41776297 -9.783325 -23.936055
    Unten rechts KachelX + 1 61975 KachelY + 1 74516 -0.17070330 -0.41776297 -9.780579 -23.936055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41771915--0.41776297) × R
    4.38200000000277e-05 × 6371000     		dl = 279.177220000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41771915--0.41776297) × R
    4.38200000000277e-05 × 6371000     		dr = 279.177220000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17075124--0.17070330) × cos(-0.41771915) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.914016604865641 × 6371000     		do = 279.164197913355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17075124--0.17070330) × cos(-0.41776297) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.913998827231809 × 6371000     		du = 279.158768166386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41771915)-sin(-0.41776297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914016604865641-0.913998827231809)×R²
    abs(-0.17070330--0.17075124)×1.77776338324831e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.77776338324831e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.77776338324831e-05×40589641000000     		ar = 77935.5267787295m²