Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61974 / 28214
↖ ↑ ↗
← N 71.025892°
W  9.783325°		 ← 99.31 m → N 71.025892°
W  9.780579°		 →
↑
99.32 m
↓
↑
99.32 m
↓
N 71.024999°
W  9.783325°		 ← 99.31 m →
9 864 m²		 N 71.024999°
W  9.780579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472827911376953 y=0.215259552001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472827911376953 × 217)
    floor (0.472827911376953 × 131072)
    floor (61974.5)     		tx = 61974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215259552001953 × 217)
    floor (0.215259552001953 × 131072)
    floor (28214.5)     		ty = 28214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61974 / 28214 ti = "17/61974/28214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61974/28214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61974 ÷ 217
    61974 ÷ 131072     		x = 0.472824096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28214 ÷ 217
    28214 ÷ 131072     		y = 0.215255737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472824096679688 × 2 - 1) × π
    -0.054351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17075124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215255737304688 × 2 - 1) × π
    0.569488525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78910096761974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17075124} λ = -0.17075124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78910096761974))-π/2
    2×atan(5.98407017446566)-π/2
    2×1.40521599853484-π/2
    2.81043199706968-1.57079632675     		φ = 1.23963567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17075124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.783325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23963567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.025892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61974 KachelY 28214 -0.17075124 1.23963567 -9.783325 71.025892
    Oben rechts KachelX + 1 61975 KachelY 28214 -0.17070330 1.23963567 -9.780579 71.025892
    Unten links KachelX 61974 KachelY + 1 28215 -0.17075124 1.23962008 -9.783325 71.024999
    Unten rechts KachelX + 1 61975 KachelY + 1 28215 -0.17070330 1.23962008 -9.780579 71.024999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23963567-1.23962008) × R
    1.55900000000653e-05 × 6371000     		dl = 99.3238900004159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23963567-1.23962008) × R
    1.55900000000653e-05 × 6371000     		dr = 99.3238900004159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17075124--0.17070330) × cos(1.23963567) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.325140840359536 × 6371000     		do = 99.3063817710257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17075124--0.17070330) × cos(1.23962008) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.325155583246784 × 6371000     		du = 99.3108846282731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23963567)-sin(1.23962008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325140840359536-0.325155583246784)×R²
    abs(-0.17070330--0.17075124)×1.47428872479538e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47428872479538e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47428872479538e-05×40589641000000     		ar = 9863.71976022793m²