Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61973 / 76175
↖ ↑ ↗
← S 28.030774°
W  9.786072°		 ← 269.54 m → S 28.030774°
W  9.783325°		 →
↑
269.56 m
↓
↑
269.56 m
↓
S 28.033198°
W  9.786072°		 ← 269.54 m →
72 656 m²		 S 28.033198°
W  9.783325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472820281982422 y=0.581172943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472820281982422 × 217)
    floor (0.472820281982422 × 131072)
    floor (61973.5)     		tx = 61973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581172943115234 × 217)
    floor (0.581172943115234 × 131072)
    floor (76175.5)     		ty = 76175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61973 / 76175 ti = "17/61973/76175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61973/76175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61973 ÷ 217
    61973 ÷ 131072     		x = 0.472816467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76175 ÷ 217
    76175 ÷ 131072     		y = 0.581169128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472816467285156 × 2 - 1) × π
    -0.0543670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17079917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581169128417969 × 2 - 1) × π
    -0.162338256835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.510000675057777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17079917} λ = -0.17079917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510000675057777))-π/2
    2×atan(0.600495173443192)-π/2
    2×0.540783518851408-π/2
    1.08156703770282-1.57079632675     		φ = -0.48922929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17079917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.786072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48922929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.030774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61973 KachelY 76175 -0.17079917 -0.48922929 -9.786072 -28.030774
    Oben rechts KachelX + 1 61974 KachelY 76175 -0.17075124 -0.48922929 -9.783325 -28.030774
    Unten links KachelX 61973 KachelY + 1 76176 -0.17079917 -0.48927160 -9.786072 -28.033198
    Unten rechts KachelX + 1 61974 KachelY + 1 76176 -0.17075124 -0.48927160 -9.783325 -28.033198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48922929--0.48927160) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dl = 269.557009999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48922929--0.48927160) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dr = 269.557009999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17079917--0.17075124) × cos(-0.48922929) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.882695312602329 × 6371000     		do = 269.541632527741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17079917--0.17075124) × cos(-0.48927160) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.882675428408608 × 6371000     		du = 269.535560649981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48922929)-sin(-0.48927160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882695312602329-0.882675428408608)×R²
    abs(-0.17075124--0.17079917)×1.98841937211203e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.98841937211203e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.98841937211203e-05×40589641000000     		ar = 72656.0181869299m²